Virittämä aliavaruus

Kun on jokin vektorijoukko ja lasketaan kaikki sen lineaarikombinaatiot, saadaan tämän vektorijoukon virittämä aliavaruus.

Virittämän aliavaruuden määritelmä

Olkoot annettuina vektorit x₁, …, x_n. Jo tiedetään, että näistä vektoreista voidaan koota uusi vektori lineaarikombinaation avulla. Valitaan reaaliluvut a₁, …, a_n, ja uusi vektori y saadaan kertomalla ja laskemalla yhteen

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Näin voidaan vektorijoukosta x₁, …, x_n tehdä äärettömän monta ”uutta” vektoria, kunhan ainakin yksi vektoreista x_i poikkeaa nollavektorista — riittää vain valita sopivasti eri kertoimet a₁, …, a_n.

Kun vektoreita muodostetaan yhä edelleen, saadaan lopulta kaikki vektorit, jotka voidaan saada vektorien x₁, …, x_n lineaarikombinaationa. Tällaista joukkoa sanotaan vektorien x₁, …, x_n virittämäksi aliavaruudeksi. Vektorijoukon X virittämää aliavaruutta merkitään span(X). Muodollisesti virittämä aliavaruus voitaisiin kirjoittaa näin

$$\mathrm{span}({\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n)=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

jos vektoreita on äärellinen määrä. Jos vektorien joukko X on ääretön, voidaan ottaa kaikki äärelliset osajoukot Y_i ⊆ X, eli |Y_i| = r jollekin r ∈ ℤ⁺, ja joukon X virittämä aliavaruus olisi silloin kaikkien joukkojen span(Y_i) yhdiste.

Esimerkki

Pysytään suositussa vektoriavaruudessa ℝ³. Valitaan yhden alkion joukko X₁ = {(1, 2, 1)} ja kysytään, mikä on tämän joukon virittämä aliavaruus. Se on vektorin (1, 2, 1) kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko. Tuloksena saatava aliavaruus on muotoa

$$\mathrm{span}(X_1)=\{(a,2a,a)\mid a\in \mathbb{R}\}$$

Siinä ovat siis muotoa (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) olevat vektorit jne. Voidaan kokeilla tarkistaa, että kahden tällaisen vektorin summa on taas samaa muotoa oleva vektori:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Toinen esimerkki ovat tavalliset vektorit X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Kun lasketaan kaikki lineaarikombinaatiot, huomataan, että ne ovat muotoa (a, b, 0), missä a, b ∈ ℝ. Se nähdään helposti, koska

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Tämän aliavaruuden vektoreita ovat esimerkiksi (0, 8, 0), (14, 15, 0) jne. Muodollisesti se kirjoitettaisiin näin:

$$\mathrm{span}(X_2)=\{(a,b,0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}$$

Virittämä aliavaruus pienimpänä aliavaruutena

Olkoon annettuna vektoriavaruus V ja jokin vektorijoukko X ⊆ V. Virittämä aliavaruus span(X) on silloin avaruuden V vektorialiavaruus, eli span(X) on vektoriavaruus.

Riittää osoittaa, että span(X) on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen. Se on varmasti, koska jokainen vektori x ∈ span(X) on syntynyt joukon X vektorien lineaarikombinaationa.

Joukon X virittämä aliavaruus on samalla pienin aliavaruus, joka sisältää kaikki joukon X vektorit. Miksi? Pienimmän vektorialiavaruuden, joka sisältää joukon X vektorit, täytyy sisältää myös kaikki joukon X vektorien lineaarikombinaatiot — muuten se ei olisi vektoriavaruus. Voidaan tehdä vastaoletus, että on olemassa jokin pienempi vektorialiavaruus, merkitään sitä Y, joka sisältää kaikki joukon X vektorit, eli X ⊆ Y. Koska oletuksen mukaan Y on pienempi kuin span(X), täytyy olla olemassa vektori x, joka on joukossa span(X) mutta ei joukossa Y, eli x ∈ span(X) ∧ x ∉ Y.

Samalla kuitenkin pätee, että vektori x täytyy voida muodostaa joukon X vektorien lineaarikombinaationa, joten on oltava olemassa vektorit x₁, …, x_n ∈ X ja kertoimet a₁, …, a_n, joille

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Mutta jos Y ei sisällä tätä vektoria x ja sisältää kuitenkin vektorit x₁, …, x_n, Y ei voi olla vektoriavaruus eikä siis aliavaruuskaan. Virittämä aliavaruus span(X) on siis pienin aliavaruus, joka sisältää kaikki joukon X vektorit.

Virittämän aliavaruuden perusominaisuudet

• Aina pätee W ⊆ span(W). Sen pitäisi olla selvää. Joukon W virittämä aliavaruus on aina yhtä suuri kuin joukko W tai suurempi. Koska virittämä aliavaruus span(W) sisältää kaikki joukon W vektorien lineaarikombinaatiot, joukon span(W) täytyy sisältää myös kaikki joukon W vektorit: jos otetaan jokin vektori x ∈ W, kertoimella a = 1 saadaan kombinaatio a · x = x.

  Esimerkki: joukon W = {(1, 0, 0)} virittämä aliavaruus on joukko

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{span}(W)& =& \{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Selvästi pätee {(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0)  ∣  a ∈ ℝ}.

• Aina pätee span(W) = span(span(W)). Kun virittämä aliavaruus on kerran laskettu, tämän aliavaruuden virittämä aliavaruus on sama aliavaruus. Joukko span(W) sisältää kaikki joukon W lineaarikombinaatiot. Jos laskettaisiin uudestaan kaikki joukon span(W) lineaarikombinaatiot, ei saataisi yhtään uutta.

• Olkoon annettuna vektoriavaruus V ja kaksi tämän avaruuden osajoukkoa (ei välttämättä aliavaruutta) W₁ ja W₂, eli W₁, W₂ ⊆ V. Jos samalla pätee W₁ ⊆ W₂, pätee myös span(W₁) ⊆ span(W₂).

  Toisin sanoen: jos on kaksi vektorijoukkoa, joista toinen on pienempi, tämän pienemmän vektorijoukon virittämä aliavaruus on pienempi tai yhtä suuri kuin suuremman joukon virittämä aliavaruus.

  Esimerkki: olkoot W₁ = {(1, 0, 0)} ja W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Nähdään, että W₁ ⊆ W₂. Millaisia virittämät aliavaruudet olisivat?

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{span}(W_1)& =& \{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{R}\}\\ \mathrm{span}(W_2)& =& \{(a,b,0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Vektorijoukko W₂ ”viritti suuremman aliavaruuden” kuin joukko W₁, kuten odotettiinkin. Joukko W₂ sisältää kaikki joukon W₁ vektorit, joten kaikki joukon W₁ vektorien lineaarikombinaatiot saadaan muodostettua myös joukon W₂ vektoreista.

  Toinen esimerkki: W₃ = {(1, 2, 0)} ja W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. Jo ensi silmäyksellä nähdään, että joukon W₄ vektorit ovat riippuvia. Siksi molemmat joukot virittävät saman aliavaruuden. Vaikka siis W₃ ⊂ W₄, pätee span(W₃) = span(W₄).