Lineært spenn

Hvis vi har en mengde av vektorer og regner ut alle lineærkombinasjonene av dem, får vi det lineære spennet (engelsk «span») til denne mengden av vektorer.

Definisjon av lineært spenn

La oss si at vi har vektorene x₁, …, x_n. Vi vet allerede at vi kan sette sammen en ny vektor av disse vektorene ved hjelp av en lineærkombinasjon. Vi velger reelle tall a₁, …, a_n, og den nye vektoren y får vi ved multiplikasjon og addisjon

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

På denne måten, hvis minst én av vektorene x_i er forskjellig fra nullvektoren, kan vi lage uendelig mange «flere» vektorer av mengden av vektorer x₁, …, x_n — det er bare å velge andre koeffisienter a₁, …, a_n på en passende måte.

Hvis vi fortsetter å frembringe vektorer, får vi til slutt alle vektorene som vi kan få som lineærkombinasjon av vektorene x₁, …, x_n. En slik mengde kaller vi det lineære spennet til vektorene x₁, …, x_n. Det lineære spennet til en mengde av vektorer X skriver vi med vinkelparenteser: ⟨X⟩. Formelt kunne vi skrive det lineære spennet slik

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

hvis vi har et endelig antall vektorer. Hvis vi har en uendelig mengde av vektorer X, kan vi ta alle endelige delmengder Y_i ⊆ X, altså |Y_i| = r for et eller annet r ∈ ℕ, og det lineære spennet til mengden X ville da være unionen av alle mengdene ⟨Y_i⟩.

Eksempel

Vi holder oss til det populære vektorrommet ℝ³. Vi velger en mengde med ett element, X₁ = {(1, 2, 1)}, og spør hva det lineære spennet til denne mengden er. Det er alle lineærkombinasjoner av vektoren (1, 2, 1). Det resulterende spennet får formen

$$⟨X_1⟩=\{(a,2a,a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Det blir altså vektorer på formen (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) osv. Vi kan prøve å kontrollere at summen av to av vektorene gir oss en ny vektor av samme form:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Et annet eksempel kan være de klassiske vektorene X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Når vi regner ut alle lineærkombinasjoner, finner vi at de har formen (a, b, 0), der a, b ∈ ℝ. Det kan vi lett vise, for

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Vektorene i dette spennet er for eksempel (0, 8, 0), (14, 15, 0) osv. Formelt ville vi skrevet det slik:

$$⟨X_2⟩=\{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Lineært spenn som det minste underrommet

La oss si at vi har et vektorrom V og en mengde av vektorer X ⊆ V. Det lineære spennet ⟨X⟩ er da et underrom av rommet V, altså er ⟨X⟩ et vektorrom.

Det er nok å vise at ⟨X⟩ er lukket under addisjon og multiplikasjon. Det er det sikkert, for enhver vektor x ∈ ⟨X⟩ oppsto som lineærkombinasjon av vektorer fra X.

Det lineære spennet til mengden X er samtidig det minste underrommet som inneholder alle vektorene fra mengden X. Hvorfor? Det minste underrommet som inneholder vektorene fra X, må også inneholde alle lineærkombinasjoner av vektorene fra X — ellers ville det ikke vært et vektorrom. Vi kan anta i et motsigelsesbevis at det finnes et mindre underrom, la oss kalle det Y, som inneholder alle vektorene fra X, altså X ⊆ Y. Siden Y, ifølge forutsetningen, er mindre enn det spennet ⟨X⟩, må det finnes en vektor x som er i ⟨X⟩, men ikke i Y, altså x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Samtidig gjelder imidlertid at vektoren x må kunne konstrueres som lineærkombinasjon av vektorer fra X, så det må finnes vektorer x₁, …, x_n ∈ X og koeffisienter a₁, …, a_n slik at

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Men hvis Y ikke inneholder denne vektoren x og samtidig inneholder vektorene x₁, …, x_n, så kan ikke Y være et vektorrom, og dermed heller ikke et underrom. Det spennet ⟨X⟩ er altså det minste underrommet som inneholder alle vektorene fra X.

Grunnleggende egenskaper ved lineært spenn

• Det gjelder alltid at W ⊆ ⟨W⟩. Det burde være klart. Det lineære spennet til en mengde W vil alltid være det samme som eller større enn mengden W. Siden det lineære spennet ⟨W⟩ inneholder alle lineærkombinasjoner av vektorer fra W, må ⟨W⟩ også inneholde alle vektorer fra W, for hvis vi tar en vektor x ∈ W, gjelder at vi for a = 1 får kombinasjonen a · x = x.

  Eksempel: det lineære spennet til mengden W = {(1, 0, 0)} er mengden

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Det gjelder åpenbart at {(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0) | a ∈ ℝ}.

• Det gjelder alltid at ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Hvis vi allerede en gang har regnet ut det lineære spennet, er det lineære spennet til dette spennet det samme spennet. ⟨W⟩ inneholder alle lineærkombinasjoner fra W. Hvis vi regnet ut alle lineærkombinasjoner fra ⟨W⟩ på nytt, ville vi ikke fått noen nye.

• La oss si at vi har et vektorrom V og to delmengder av dette rommet (ikke nødvendigvis underrom) W₁ og W₂, altså W₁, W₂ ⊆ V. Hvis det samtidig gjelder at W₁ ⊆ W₂, så gjelder også ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Sagt på en annen måte: hvis vi har to mengder av vektorer, der den ene er mindre, så har den mindre mengden av vektorer et mindre eller like stort lineært spenn som den større mengden.

  Eksempel: la W₁ = {(1, 0, 0)} og W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Vi ser at W₁ ⊆ W₂. Hva ville de lineære spennene vært?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Mengden av vektorer W₂ «frembrakte et større spenn» enn mengden W₁, noe vi hadde ventet. Mengden W₂ inneholder alle vektorene fra mengden W₁, så alle lineærkombinasjoner av vektorene fra W₁ kan samtidig frembringes av vektorene i W₂.

  Et annet eksempel: W₃ = {(1, 2, 0)} og W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. Det er lett å se at vektorene i W₄ er avhengige. Derfor frembringer begge mengdene det samme spennet. Altså, selv om W₃ ⊂ W₄, er ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.