Linjärt hölje

Om vi har en mängd vektorer och bildar alla deras linjärkombinationer får vi det linjära höljet av vektormängden.

Definition av linjärt hölje

Låt x₁, …, x_n vara vektorer. Vi vet redan att vi kan bygga en ny vektor av dem med hjälp av en linjärkombination. Vi väljer reella tal a₁, …, a_n och får den nya vektorn y genom att multiplicera och addera

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

På det här sättet kan vi av vektorerna x₁, …, x_n göra oändligt många ”nya” vektorer, så länge minst en av vektorerna x_i är skild från nollvektorn — vi behöver bara välja andra koefficienter a₁, …, a_n.

Om vi fortsätter att generera vektorer får vi till slut alla vektorer som går att få som linjärkombination av vektorerna x₁, …, x_n. Den mängden kallar vi det linjära höljet av vektorerna x₁, …, x_n. Det linjära höljet av en mängd vektorer X betecknas span(X). Formellt kan vi skriva höljet så här

$$\mathrm{span}({\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n)=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

om vi har ett ändligt antal vektorer. Om vi har en oändlig mängd vektorer X kan vi ta alla ändliga delmängder Y_i ⊆ X, alltså |Y_i| = r för något r ∈ ℤ⁺, och det linjära höljet av mängden X är då unionen av alla mängder span(Y_i).

Exempel

Vi stannar kvar i det omtyckta vektorrummet ℝ³. Vi väljer mängden X₁ = {(1, 2, 1)} med ett enda element och frågar oss vilket linjärt hölje den har. Det är alla linjärkombinationer av vektorn (1, 2, 1). Höljet får formen

$$\mathrm{span}(X_1)=\{(a,2a,a)\mid a\in \mathbb{R}\}$$

Det blir alltså vektorer som (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) osv. Vi kan kontrollera att summan av två av vektorerna ger en ny vektor av samma form:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Ett andra exempel är de klassiska vektorerna X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. När vi bildar alla linjärkombinationer ser vi att de har formen (a, b, 0), där a, b ∈ ℝ. Det är enkelt att visa, eftersom

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Vektorer i det här höljet är till exempel (0, 8, 0), (14, 15, 0) osv. Formellt skriver vi det så här:

$$\mathrm{span}(X_2)=\{(a,b,0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}$$

Linjärt hölje som minsta underrum

Låt V vara ett vektorrum och X ⊆ V en mängd vektorer. Det linjära höljet span(X) är då ett underrum till V, dvs. höljet span(X) är ett vektorrum.

Det räcker att visa att höljet span(X) är slutet under addition och multiplikation. Det är det, eftersom varje vektor x ∈ span(X) har bildats som en linjärkombination av vektorer ur X.

Det linjära höljet av mängden X är dessutom det minsta underrummet som innehåller alla vektorer i X. Varför? Det minsta underrummet som innehåller vektorerna i X måste också innehålla alla linjärkombinationer av vektorer ur X — annars vore det inget vektorrum. Vi kan göra ett motsägelsebevis och anta att det finns ett mindre underrum, som vi kallar Y, som innehåller alla vektorer i X, alltså X ⊆ Y. Eftersom Y enligt antagandet är mindre än höljet span(X) måste det finnas en vektor x som ligger i span(X) men inte i Y, alltså x ∈ span(X) ∧ x ∉ Y.

Samtidigt måste vektorn x gå att bilda som en linjärkombination av vektorer ur X, så det måste finnas vektorer x₁, …, x_n ∈ X och koefficienter a₁, …, a_n sådana att

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Men om Y inte innehåller vektorn x och samtidigt innehåller vektorerna x₁, …, x_n, kan Y inte vara ett vektorrum och därmed inte heller ett underrum. Höljet span(X) är alltså det minsta underrummet som innehåller alla vektorer i X.

Grundläggande egenskaper hos linjärt hölje

• Det gäller alltid att W ⊆ span(W). Det borde vara självklart. Det linjära höljet av en mängd W är alltid lika stort som eller större än mängden W. Eftersom höljet span(W) innehåller alla linjärkombinationer av vektorer ur W måste span(W) också innehålla alla vektorer i W, för om vi tar en vektor x ∈ W får vi med a = 1 kombinationen a · x = x.

  Exempel: det linjära höljet av mängden W = {(1, 0, 0)} är mängden

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{span}(W)& =& \{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Uppenbarligen gäller {(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0)  ∣  a ∈ ℝ}.

• Det gäller alltid att span(W) = span(span(W)). Om vi en gång har bildat det linjära höljet är höljet av detta hölje samma hölje. Mängden span(W) innehåller alla linjärkombinationer av vektorer ur W. Om vi bildade alla linjärkombinationer av vektorer ur span(W) en gång till skulle vi inte få några nya.

• Låt V vara ett vektorrum och låt W₁ och W₂ vara två delmängder av rummet (inte nödvändigtvis underrum), alltså W₁, W₂ ⊆ V. Om dessutom W₁ ⊆ W₂ gäller också span(W₁) ⊆ span(W₂).

  Med andra ord: om vi har två vektormängder och den ena är mindre än den andra, har den mindre mängden ett mindre eller lika stort linjärt hölje som den större.

  Exempel: låt W₁ = {(1, 0, 0)} och W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Vi ser att W₁ ⊆ W₂. Vilka blir de linjära höljena?

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{span}(W_1)& =& \{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{R}\}\\ \mathrm{span}(W_2)& =& \{(a,b,0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Mängden W₂ ”genererade ett större hölje” än mängden W₁, vilket vi väntade oss. Mängden W₂ innehåller alla vektorer i mängden W₁, så alla linjärkombinationer av vektorer ur W₁ går också att generera av vektorerna i W₂.

  Ett annat exempel: W₃ = {(1, 2, 0)} och W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. Vi ser direkt att vektorerna i W₄ är linjärt beroende. Därför genererar båda mängderna samma hölje. Alltså gäller span(W₃) = span(W₄) trots att W₃ ⊂ W₄.