Lineair opspansel

Als we een verzameling vectoren hebben en al hun lineaire combinaties berekenen, krijgen we het lineaire opspansel van deze verzameling vectoren.

Definitie van het lineaire opspansel

We nemen vectoren x₁, …, x_n. We weten al dat we uit deze vectoren met een lineaire combinatie een nieuwe vector kunnen samenstellen. We kiezen reële getallen a₁, …, a_n en de nieuwe vector y krijgen we door te vermenigvuldigen en op te tellen

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Op deze manier kunnen we, als minstens één van de vectoren x_i ongelijk is aan de nulvector, uit de verzameling vectoren x₁, …, x_n oneindig veel “andere” vectoren maken — het is genoeg om op een geschikte manier andere coëfficiënten a₁, …, a_n te kiezen.

Als we maar doorgaan met vectoren voortbrengen, krijgen we uiteindelijk alle vectoren die we met een lineaire combinatie van de vectoren x₁, …, x_n kunnen krijgen. Zo'n verzameling noemen we het lineaire opspansel van de vectoren x₁, …, x_n. Het lineaire opspansel van een verzameling vectoren X noteren we met punthaken: ⟨X⟩. Formeel zouden we het lineaire opspansel zo kunnen opschrijven

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

als we een eindig aantal vectoren hebben. Als we een oneindige verzameling vectoren X hebben, kunnen we alle eindige deelverzamelingen Y_i ⊆ X nemen, dus |Y_i| = r voor een of ander r ∈ ℕ, en het lineaire opspansel van de verzameling X zou dan de vereniging van alle verzamelingen ⟨Y_i⟩ zijn.

Voorbeeld

We blijven bij de geliefde vectorruimte ℝ³. We kiezen een verzameling met één element X₁ = {(1, 2, 1)} en vragen ons af wat het lineaire opspansel van deze verzameling is. Het zijn alle lineaire combinaties van de vector (1, 2, 1). Het resulterende opspansel heeft de vorm

$$⟨X_1⟩=\{(a,2a,a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Het zijn dus vectoren van de vorm (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) enzovoort. We kunnen proberen te controleren dat de som van twee van die vectoren ons een nieuwe vector van dezelfde vorm geeft:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Een tweede voorbeeld zijn de klassieke vectoren X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Als we alle lineaire combinaties berekenen, zien we dat ze de vorm (a, b, 0) hebben, waarbij a, b ∈ ℝ. Dat is eenvoudig te laten zien, want

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Vectoren van dit opspansel zijn bijvoorbeeld (0, 8, 0), (14, 15, 0) enzovoort. Formeel zouden we het zo opschrijven:

$$⟨X_2⟩=\{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Lineair opspansel als kleinste deelruimte

We nemen een vectorruimte V en een verzameling vectoren X ⊆ V. Het lineaire opspansel ⟨X⟩ is dan een deelruimte van de ruimte V, dus het opspansel ⟨X⟩ is een vectorruimte.

Het is genoeg te bewijzen dat het opspansel ⟨X⟩ gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging. Dat is zeker zo, want elke vector x ∈ ⟨X⟩ is ontstaan als lineaire combinatie van vectoren uit X.

Het lineaire opspansel van de verzameling X is tegelijk de kleinste deelruimte die alle vectoren uit de verzameling X bevat. Waarom? De kleinste deelruimte die de vectoren uit X bevat, moet ook alle lineaire combinaties van vectoren uit X bevatten — anders zou het geen vectorruimte zijn. We kunnen uit het ongerijmde aannemen dat er een kleinere deelruimte bestaat, noem haar Y, die alle vectoren uit X bevat, dus X ⊆ Y. Omdat Y volgens de aanname kleiner is dan het opspansel ⟨X⟩, moet er een vector x bestaan die in ⟨X⟩ zit maar niet in Y, dus x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Daarbij geldt echter dat de vector x als lineaire combinatie van vectoren uit X moet kunnen worden geconstrueerd, er moeten dus vectoren x₁, …, x_n ∈ X en coëfficiënten a₁, …, a_n bestaan zodat

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Maar als Y deze vector x niet bevat en wel de vectoren x₁, …, x_n bevat, dan kan Y geen vectorruimte zijn, en dus ook geen deelruimte. Het opspansel ⟨X⟩ is dus de kleinste deelruimte die alle vectoren uit X bevat.

Basiseigenschappen van het lineaire opspansel

• Er geldt altijd dat W ⊆ ⟨W⟩. Dat zou duidelijk moeten zijn. Het lineaire opspansel van een verzameling W is altijd gelijk aan of groter dan de verzameling W. Omdat het lineaire opspansel ⟨W⟩ alle lineaire combinaties van vectoren uit W bevat, moet ⟨W⟩ ook alle vectoren uit W bevatten, want als we een vector x ∈ W nemen, dan geldt dat we voor a = 1 de combinatie a · x = x krijgen.

  Voorbeeld: het lineaire opspansel van de verzameling W = {(1, 0, 0)} is de verzameling

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Er geldt duidelijk dat {(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0) | a ∈ ℝ}.

• Er geldt altijd dat ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Als we het lineaire opspansel eenmaal hebben berekend, dan is het lineaire opspansel van dit opspansel hetzelfde opspansel. ⟨W⟩ bevat alle lineaire combinaties uit W. Als we opnieuw alle lineaire combinaties uit ⟨W⟩ zouden berekenen, zouden we geen nieuwe krijgen.

• We nemen een vectorruimte V en twee deelverzamelingen van deze ruimte (niet per se deelruimten) W₁ en W₂, dus W₁, W₂ ⊆ V. Als tegelijk geldt dat W₁ ⊆ W₂, dan geldt ook ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Anders gezegd: als we twee verzamelingen vectoren hebben, waarvan de ene kleiner is, dan heeft deze kleinere verzameling vectoren een lineair opspansel dat kleiner is dan dat van de grotere verzameling of even groot.

  Voorbeeld: laat W₁ = {(1, 0, 0)} en W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. We zien dat W₁ ⊆ W₂ geldt. Wat zouden de lineaire opspansels zijn?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  De verzameling vectoren W₂ heeft “een groter opspansel voortgebracht” dan de verzameling W₁, wat we verwachtten. De verzameling W₂ bevat alle vectoren uit de verzameling W₁, dus alle lineaire combinaties van vectoren uit W₁ kunnen tegelijk ook uit de vectoren in W₂ worden voortgebracht.

  Een ander voorbeeld: W₃ = {(1, 2, 0)} en W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. Op het eerste gezicht is te zien dat de vectoren in W₄ afhankelijk zijn. Daarom brengen beide verzamelingen hetzelfde opspansel voort. Dus ook al is W₃ ⊂ W₄, toch geldt ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.