Lineært udspænd

Hvis vi har en mængde af vektorer og beregner alle deres linearkombinationer, får vi det lineære udspænd af denne mængde af vektorer.

Definition af lineært udspænd

Lad os have vektorerne x₁, …, x_n. Vi ved allerede, at vi kan sammensætte en ny vektor af disse vektorer ved hjælp af en linearkombination. Vi vælger reelle tal a₁, …, a_n, og den nye vektor y får vi ved at gange og lægge sammen

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

På den måde kan vi, hvis mindst én af vektorerne x_i er forskellig fra nulvektoren, ud af mængden af vektorer x₁, …, x_n fremstille uendelig mange »andre« vektorer — vi skal bare på passende vis vælge andre koefficienter a₁, …, a_n.

Hvis vi bliver ved med at frembringe vektorer, får vi til sidst alle de vektorer, som vi kan få ved en linearkombination af vektorerne x₁, …, x_n. En sådan mængde kalder vi det lineære udspænd af vektorerne x₁, …, x_n. Det lineære udspænd af en mængde af vektorer X skriver vi span(X). Formelt kunne vi skrive det lineære udspænd sådan

$$\mathrm{span}({\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n)=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

hvis vi har et endeligt antal vektorer. Har vi en uendelig mængde af vektorer X, kan vi tage alle endelige delmængder Y_i ⊆ X, altså |Y_i| = r for et eller andet r ∈ ℕ, og det lineære udspænd af mængden X ville så være foreningsmængden af alle mængderne span(Y_i).

Eksempel

Vi bliver ved det velkendte vektorrum ℝ³. Vi vælger en mængde med ét element X₁ = {(1, 2, 1)} og spørger, hvad det lineære udspænd af denne mængde er. Det er alle linearkombinationer af vektoren (1, 2, 1). Det resulterende udspænd får formen

$$\mathrm{span}(X_1)=\{(a,2a,a)\mid a\in \mathbb{R}\}$$

Det bliver altså vektorer af formen (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) osv. Vi kan prøve at kontrollere, at summen af to vilkårlige vektorer giver os en ny vektor af samme form:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Et andet eksempel kan være de klassiske vektorer X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Når vi beregner alle linearkombinationer, finder vi ud af, at de har formen (a, b, 0), hvor a, b ∈ ℝ. Det kan vi let vise, fordi

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Vektorer i dette udspænd er for eksempel (0, 8, 0), (14, 15, 0) osv. Formelt ville vi skrive det sådan:

$$\mathrm{span}(X_2)=\{(a,b,0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}$$

Det lineære udspænd som det mindste underrum

Lad os have et vektorrum V og en mængde af vektorer X ⊆ V. Det lineære udspænd span(X) er så et underrum af rummet V, dvs. udspændet span(X) er et vektorrum.

Det er nok at vise, at udspændet span(X) er lukket under addition og multiplikation. Det er det helt sikkert, fordi enhver vektor x ∈ span(X) er opstået som en linearkombination af vektorer fra X.

Det lineære udspænd af mængden X er samtidig det mindste underrum, som indeholder alle vektorer fra mængden X. Hvorfor? Det mindste underrum, som indeholder vektorerne fra X, må også indeholde alle linearkombinationer af vektorer fra X — ellers ville det ikke være et vektorrum. Vi kan ved modstrid antage, at der findes et mindre underrum, lad os kalde det Y, som indeholder alle vektorer fra X, altså X ⊆ Y. Fordi Y ifølge antagelsen er mindre end udspændet span(X), må der findes en vektor x, som er i span(X), men ikke er i Y, altså x ∈ span(X) ∧ x ∉ Y.

Men der gælder, at vektoren x må kunne konstrueres som en linearkombination af vektorer fra X, der må altså findes vektorer x₁, …, x_n ∈ X og koefficienter a₁, …, a_n, så

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Hvis Y imidlertid ikke indeholder denne vektor x og samtidig indeholder vektorerne x₁, …, x_n, så kan Y ikke være et vektorrum og altså heller ikke et underrum. Udspændet span(X) er således det mindste underrum, som indeholder alle vektorer fra X.

Grundlæggende egenskaber ved det lineære udspænd

• Der gælder altid, at W ⊆ span(W). Det bør være klart. Det lineære udspænd af mængden W vil altid være lig med eller større end mængden W. Fordi det lineære udspænd span(W) indeholder alle linearkombinationer af vektorer fra W, må span(W) også indeholde alle vektorer fra W, for hvis vi tager en vektor x ∈ W, gælder, at vi for a = 1 får kombinationen a · x = x.

  Eksempel: Det lineære udspænd af mængden W = {(1, 0, 0)} er mængden

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{span}(W)& =& \{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Det gælder åbenbart, at {(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0)  ∣  a ∈ ℝ}.

• Der gælder altid, at span(W) = span(span(W)). Hvis vi først har beregnet det lineære udspænd, så er det lineære udspænd af dette udspænd det samme udspænd. span(W) indeholder alle linearkombinationer fra W. Hvis vi igen beregnede alle linearkombinationer fra span(W), ville vi ikke få nogen nye.

• Lad os have et vektorrum V og to delmængder af dette rum (ikke nødvendigvis underrum) W₁ og W₂, dvs. W₁, W₂ ⊆ V. Hvis der samtidig gælder, at W₁ ⊆ W₂, så gælder også span(W₁) ⊆ span(W₂).

  Med andre ord: Hvis vi har to mængder af vektorer, hvor den ene er mindre, så har den mindre mængde af vektorer et mindre eller lige så stort lineært udspænd som den større mængde.

  Eksempel: Lad W₁ = {(1, 0, 0)} og W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Vi ser, at W₁ ⊆ W₂. Hvordan ville de lineære udspænd se ud?

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{span}(W_1)& =& \{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{R}\}\\ \mathrm{span}(W_2)& =& \{(a,b,0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Mængden af vektorer W₂ »frembragte et større udspænd« end mængden W₁, hvilket vi havde ventet. Mængden W₂ indeholder alle vektorer fra mængden W₁, så alle linearkombinationer af vektorer fra W₁ kan man samtidig frembringe ud af vektorerne i W₂.

  Et andet eksempel: W₃ = {(1, 2, 0)} og W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. Ved første øjekast kan man se, at vektorerne i W₄ er afhængige. Derfor frembringer begge mængder det samme udspænd. Altså selvom W₃ ⊂ W₄, er span(W₃) = span(W₄).