Γραμμική θήκη

Αν έχουμε ένα σύνολο διανυσμάτων και υπολογίσουμε όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς τους, παίρνουμε τη γραμμική θήκη αυτού του συνόλου διανυσμάτων.

Ορισμός της γραμμικής θήκης

Έστω διανύσματα x₁, …, x_n. Ήδη ξέρουμε ότι από αυτά τα διανύσματα μπορούμε να φτιάξουμε ένα νέο διάνυσμα με γραμμικό συνδυασμό. Επιλέγουμε πραγματικούς αριθμούς a₁, …, a_n και το νέο διάνυσμα y το παίρνουμε με πολλαπλασιασμό και πρόσθεση

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Με αυτόν τον τρόπο, αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα x_i είναι διαφορετικό από το μηδενικό διάνυσμα, μπορούμε από το σύνολο διανυσμάτων x₁, …, x_n να φτιάξουμε άπειρα «νέα» διανύσματα – αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα άλλους συντελεστές a₁, …, a_n.

Αν συνεχίσουμε να παράγουμε διανύσματα, θα πάρουμε τελικά όλα τα διανύσματα που μπορούμε να πάρουμε με γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων x₁, …, x_n. Αυτό το σύνολο το ονομάζουμε γραμμική θήκη των διανυσμάτων x₁, …, x_n. Τη γραμμική θήκη ενός συνόλου διανυσμάτων X τη συμβολίζουμε με γωνιακές αγκύλες: ⟨X⟩. Τυπικά θα μπορούσαμε να γράψουμε τη γραμμική θήκη ως εξής

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

αν έχουμε πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων. Αν έχουμε άπειρο σύνολο διανυσμάτων X, μπορούμε να πάρουμε όλα τα πεπερασμένα υποσύνολα Y_i ⊆ X, δηλαδή |Y_i| = r για κάποιο r ∈ ℕ^∗, και η γραμμική θήκη του συνόλου X θα ήταν τότε η ένωση όλων των συνόλων ⟨Y_i⟩.

Παράδειγμα

Θα μείνουμε στον αγαπημένο μας διανυσματικό χώρο ℝ³. Επιλέγουμε το μονοσύνολο X₁ = {(1, 2, 1)} και ρωτάμε ποια είναι η γραμμική θήκη αυτού του συνόλου. Είναι όλοι οι γραμμικοί συνδυασμοί του διανύσματος (1, 2, 1). Η θήκη που προκύπτει έχει τη μορφή

$$⟨X_1⟩=\{(a,2a,a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Θα είναι δηλαδή διανύσματα της μορφής (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) κ.ο.κ. Μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι το άθροισμα δύο από αυτά μας δίνει νέο διάνυσμα της ίδιας μορφής:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Δεύτερο παράδειγμα είναι τα κλασικά διανύσματα X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Όταν υπολογίσουμε όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς, διαπιστώνουμε ότι έχουν τη μορφή (a, b, 0), όπου a, b ∈ ℝ. Αυτό δείχνεται εύκολα, επειδή

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Διανύσματα αυτής της θήκης είναι για παράδειγμα τα (0, 8, 0), (14, 15, 0) κτλ. Τυπικά θα το γράφαμε έτσι:

$$⟨X_2⟩=\{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Η γραμμική θήκη ως ο μικρότερος υπόχωρος

Έστω ένας διανυσματικός χώρος V και ένα σύνολο διανυσμάτων X ⊆ V. Η γραμμική θήκη ⟨X⟩ είναι τότε υπόχωρος του χώρου V, δηλαδή η θήκη ⟨X⟩ είναι διανυσματικός χώρος.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι η θήκη ⟨X⟩ είναι κλειστή ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Αυτό ισχύει σίγουρα, επειδή κάθε διάνυσμα x ∈ ⟨X⟩ προέκυψε ως γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων του X.

Η γραμμική θήκη του συνόλου X είναι ταυτόχρονα ο μικρότερος υπόχωρος που περιέχει όλα τα διανύσματα του συνόλου X. Γιατί; Ο μικρότερος διανυσματικός υπόχωρος που περιέχει τα διανύσματα του X πρέπει να περιέχει και όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς διανυσμάτων του X – διαφορετικά δεν θα ήταν διανυσματικός χώρος. Μπορούμε να υποθέσουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι υπάρχει κάποιος μικρότερος διανυσματικός υπόχωρος, ας τον ονομάσουμε Y, που περιέχει όλα τα διανύσματα του X, δηλαδή X ⊆ Y. Επειδή, κατά την υπόθεση, το Y είναι μικρότερο από τη θήκη ⟨X⟩, πρέπει να υπάρχει διάνυσμα x που ανήκει στο ⟨X⟩, αλλά δεν ανήκει στο Y, δηλαδή x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Ταυτόχρονα όμως το διάνυσμα x πρέπει να μπορεί να κατασκευαστεί ως γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων του X, άρα πρέπει να υπάρχουν διανύσματα x₁, …, x_n ∈ X και συντελεστές a₁, …, a_n τέτοιοι ώστε

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Αν όμως το Y δεν περιέχει αυτό το διάνυσμα x και ταυτόχρονα περιέχει τα διανύσματα x₁, …, x_n, τότε το Y δεν μπορεί να είναι διανυσματικός χώρος, άρα ούτε υπόχωρος. Η θήκη ⟨X⟩ είναι λοιπόν ο μικρότερος υπόχωρος που περιέχει όλα τα διανύσματα του X.

Βασικές ιδιότητες της γραμμικής θήκης

• Ισχύει πάντα ότι W ⊆ ⟨W⟩. Αυτό θα έπρεπε να είναι προφανές. Η γραμμική θήκη ενός συνόλου W θα είναι πάντα ίση ή μεγαλύτερη από το σύνολο W. Επειδή η γραμμική θήκη ⟨W⟩ περιέχει όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς διανυσμάτων του W, το ⟨W⟩ πρέπει να περιέχει και όλα τα διανύσματα του W, αφού αν πάρουμε ένα διάνυσμα x ∈ W, ισχύει ότι για a = 1 παίρνουμε τον συνδυασμό a · x = x.

  Παράδειγμα: η γραμμική θήκη του συνόλου W = {(1, 0, 0)} είναι το σύνολο

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Προφανώς ισχύει {(1, 0, 0)} ⊆ {(a,0, 0) | a ∈ ℝ}.

• Ισχύει πάντα ότι ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Αν έχουμε υπολογίσει μία φορά τη γραμμική θήκη, τότε η γραμμική θήκη αυτής της θήκης είναι η ίδια θήκη. Το ⟨W⟩ περιέχει όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς του W. Αν υπολογίζαμε ξανά όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς του ⟨W⟩, δεν θα παίρναμε κανέναν καινούργιο.

• Έστω ένας διανυσματικός χώρος V και δύο υποσύνολα αυτού του χώρου (όχι απαραίτητα υπόχωροι) W₁ και W₂, δηλαδή W₁, W₂ ⊆ V. Αν ταυτόχρονα ισχύει W₁ ⊆ W₂, τότε ισχύει και ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Με άλλα λόγια: αν έχουμε δύο σύνολα διανυσμάτων, από τα οποία το ένα είναι μικρότερο, τότε αυτό το μικρότερο σύνολο διανυσμάτων έχει μικρότερη ή ίση γραμμική θήκη από το μεγαλύτερο σύνολο.

  Παράδειγμα: έστω W₁ = {(1, 0, 0)} και W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Βλέπουμε ότι ισχύει W₁ ⊆ W₂. Ποιες θα ήταν οι γραμμικές θήκες;

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Το σύνολο διανυσμάτων W₂ «παρήγαγε μεγαλύτερη θήκη» από το σύνολο W₁, κάτι που περιμέναμε. Το σύνολο W₂ περιέχει όλα τα διανύσματα του συνόλου W₁, άρα όλοι οι γραμμικοί συνδυασμοί των διανυσμάτων του W₁ μπορούν ταυτόχρονα να παραχθούν από τα διανύσματα του W₂.

  Άλλο παράδειγμα: W₃ = {(1, 2, 0)} και W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. Με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι τα διανύσματα του W₄ είναι εξαρτημένα. Γι' αυτό και τα δύο σύνολα παράγουν την ίδια θήκη. Δηλαδή, παρότι W₃ ⊂ W₄, ισχύει ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.