Subespaço gerado

Se temos um conjunto de vetores e calculamos todas as suas combinações lineares, obtemos o subespaço gerado por esse conjunto de vetores.

Definição de subespaço gerado

Considere os vetores x₁, …, x_n. Já sabemos que, a partir desses vetores, podemos montar um novo vetor por meio de uma combinação linear. Escolhemos números reais a₁, …, a_n e obtemos o novo vetor y por multiplicação e adição

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Desse modo, se pelo menos um dos vetores x_i é diferente do vetor nulo, podemos produzir, a partir do conjunto de vetores x₁, …, x_n, infinitos “outros” vetores — basta escolher, de modo adequado, outros coeficientes a₁, …, a_n.

Se continuarmos gerando vetores sem parar, obteremos, por fim, todos os vetores que podemos obter por combinação linear dos vetores x₁, …, x_n. Um conjunto assim é chamado de subespaço gerado pelos vetores x₁, …, x_n. O subespaço gerado por um conjunto de vetores X é representado com colchetes angulares: ⟨X⟩. Formalmente, poderíamos escrever o subespaço gerado assim

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

se temos uma quantidade finita de vetores. Se temos um conjunto infinito de vetores X, podemos tomar todos os subconjuntos finitos Y_i ⊆ X, isto é, |Y_i| = r para algum r ∈ ℕ^*, e o subespaço gerado pelo conjunto X seria, então, a união de todos os conjuntos ⟨Y_i⟩.

Exemplo

Vamos ficar no querido espaço vetorial ℝ³. Escolhemos o conjunto de um único elemento X₁ = {(1, 2, 1)} e perguntamos qual é o subespaço gerado por esse conjunto. São todas as combinações lineares do vetor (1, 2, 1). O subespaço resultante terá a forma

$$⟨X_1⟩=\{(a,2a,a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Serão, portanto, vetores da forma (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) etc. Podemos tentar verificar que a soma de dois desses vetores nos dá um novo vetor da mesma forma:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Um segundo exemplo são os vetores clássicos X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Quando calculamos todas as combinações lineares, descobrimos que elas têm a forma (a, b, 0), em que a, b ∈ ℝ. Isso pode ser mostrado com facilidade, porque

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Os vetores desse subespaço são, assim, por exemplo, (0, 8, 0), (14, 15, 0) etc. Formalmente, escreveríamos assim:

$$⟨X_2⟩=\{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

O subespaço gerado como o menor subespaço

Considere um espaço vetorial V e algum conjunto de vetores X ⊆ V. O subespaço gerado ⟨X⟩ é, então, um subespaço vetorial do espaço V, isto é, ⟨X⟩ é um espaço vetorial.

Basta demonstrar que o subespaço gerado ⟨X⟩ é fechado para a adição e a multiplicação. Isso certamente vale, porque qualquer vetor x ∈ ⟨X⟩ surgiu como combinação linear de vetores de X.

O subespaço gerado pelo conjunto X é, ao mesmo tempo, o menor subespaço que contém todos os vetores do conjunto X. Por quê? O menor subespaço vetorial que contém os vetores de X deve conter também todas as combinações lineares de vetores de X — senão não seria um espaço vetorial. Podemos supor por absurdo que existe algum subespaço vetorial menor, que vamos chamar de Y, que contém todos os vetores de X, isto é, X ⊆ Y. Como, pela hipótese, Y é menor que o subespaço gerado ⟨X⟩, deve existir um vetor x que está em ⟨X⟩, mas não está em Y, isto é, x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Mas vale que o vetor x deve poder ser construído como combinação linear de vetores de X; devem existir, portanto, vetores x₁, …, x_n ∈ X e coeficientes a₁, …, a_n tais que

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Mas, se Y não contém esse vetor x e, ao mesmo tempo, contém os vetores x₁, …, x_n, então Y não pode ser um espaço vetorial e, portanto, nem um subespaço. O subespaço gerado ⟨X⟩ é, assim, o menor subespaço que contém todos os vetores de X.

Propriedades básicas do subespaço gerado

• Sempre vale que W ⊆ ⟨W⟩. Isso deveria ser claro. O subespaço gerado pelo conjunto W será sempre igual ou maior que o conjunto W. Como o subespaço gerado ⟨W⟩ contém todas as combinações lineares de vetores de W, então ⟨W⟩ deve conter também todos os vetores de W, porque, se tomarmos algum vetor x ∈ W, vale que, para a = 1, obtemos a combinação a · x = x.

  Exemplo: o subespaço gerado pelo conjunto W = {(1, 0, 0)} é o conjunto

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Claramente vale que {(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0) | a ∈ ℝ}.

• Sempre vale que ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Se já calculamos uma vez o subespaço gerado, então o subespaço gerado por esse subespaço é o mesmo subespaço. ⟨W⟩ contém todas as combinações lineares de W. Se calculássemos de novo todas as combinações lineares de ⟨W⟩, não obteríamos nenhuma nova.

• Considere um espaço vetorial V e dois subconjuntos desse espaço (não necessariamente subespaços) W₁ e W₂, isto é, W₁, W₂ ⊆ V. Se, ao mesmo tempo, vale que W₁ ⊆ W₂, então vale também ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Em outras palavras: se temos dois conjuntos de vetores, sendo um deles menor, então esse conjunto menor de vetores tem um subespaço gerado menor ou igual ao do conjunto maior.

  Exemplo: sejam W₁ = {(1, 0, 0)} e W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Vemos que vale W₁ ⊆ W₂. Quais seriam os subespaços gerados?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  O conjunto de vetores W₂ “gerou um subespaço maior” que o conjunto W₁, o que já esperávamos. O conjunto W₂ contém todos os vetores do conjunto W₁, então todas as combinações lineares de vetores de W₁ também podem ser geradas a partir dos vetores de W₂.

  Outro exemplo: W₃ = {(1, 2, 0)} e W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. À primeira vista, vemos que os vetores de W₄ são dependentes. Por isso, os dois conjuntos geram o mesmo subespaço. Ou seja, embora W₃ ⊂ W₄, vale ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.