Lineáris burok

Ha adott egy vektorhalmaz, és kiszámítjuk az összes lineáris kombinációját, akkor megkapjuk e vektorhalmaz lineáris burkát.

A lineáris burok definíciója

Legyenek adottak az x₁, …, x_n vektorok. Már tudjuk, hogy ezekből a vektorokból lineáris kombinációval új vektort állíthatunk elő. Választunk a₁, …, a_n valós számokat, és az új y vektort szorzással és összeadással kapjuk

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Ily módon, ha az x_i vektorok között legalább egy különbözik a nullvektortól, az x₁, …, x_n vektorhalmazból végtelen sok „további” vektort állíthatunk elő – elég alkalmasan más a₁, …, a_n együtthatókat választani.

Ha egyre tovább generáljuk a vektorokat, végül megkapjuk az összes olyan vektort, amelyet az x₁, …, x_n vektorok lineáris kombinációjaként előállíthatunk. Az ilyen halmazt nevezzük az x₁, …, x_n vektorok lineáris burkának. Az X vektorhalmaz lineáris burkát hegyes zárójellel jelöljük: ⟨X⟩. Formálisan a lineáris burkot így írhatnánk fel

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

ha véges sok vektorunk van. Ha az X vektorok halmaza végtelen, vehetjük az összes véges Y_i ⊆ X részhalmazát, azaz |Y_i| = r valamilyen r ∈ ℕ⁺ esetén, és az X halmaz lineáris burka ekkor az összes ⟨Y_i⟩ halmaz uniója lenne.

Példa

Maradunk a kedvelt ℝ³ vektortérnél. Válasszuk az egyelemű X₁ = {(1; 2; 1)} halmazt, és kérdezzük meg, mi ennek a halmaznak a lineáris burka? Az (1; 2; 1) vektor összes lineáris kombinációja. A kapott burok alakja

$$⟨X_1⟩=\{(a;2a;a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Ezek tehát olyan vektorok, mint (3; 6; 3),(8; 16; 8),(−1; −2; −1) és így tovább. Megpróbálhatjuk ellenőrizni, hogy két ilyen vektor összege ugyanilyen alakú új vektort ad:

$$\begin{array}{rcl}(3;6;3)+(3;6;3)& =& (6;12;6)\\ (3;6;3)+(-1;-2;-1)& =& (2;4;2)\\ (8;16;8)+(2;4;2)& =& (10;20;10)\end{array}$$

Második példa lehet a klasszikus X₂ = {(1; 0; 0), (0; 1; 0)} vektorpár. Ha kiszámítjuk az összes lineáris kombinációt, azt találjuk, hogy alakjuk (a; b; 0), ahol a, b ∈ ℝ. Ezt egyszerűen megmutathatjuk, mert

$$(a;b;0)=a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0).$$

Ennek a buroknak a vektorai tehát például a (0; 8; 0), a (14; 15; 0) és így tovább. Formálisan ezt így írnánk le:

$$⟨X_2⟩=\{(a;b;0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

A lineáris burok mint a legkisebb altér

Legyen adott egy V vektortér és vektorainak valamilyen X ⊆ V halmaza. Az ⟨X⟩ lineáris burok ekkor a V altere, azaz az ⟨X⟩ burok vektortér.

Elég bebizonyítanunk, hogy az ⟨X⟩ burok zárt az összeadásra és a szorzásra. Ez biztosan így van, mert minden x ∈ ⟨X⟩ vektor az X vektoraiból lineáris kombinációval jött létre.

Az X halmaz lineáris burka egyúttal a legkisebb olyan altér, amely tartalmazza az X összes vektorát. Miért? Az X vektorait tartalmazó legkisebb altérnek tartalmaznia kell az X vektorainak összes lineáris kombinációját is – különben nem lenne vektortér. Indirekt módon feltehetjük, hogy létezik valamilyen kisebb altér, jelöljük Y-nal, amely tartalmazza az X összes vektorát, azaz X ⊆ Y. Mivel a feltevés szerint az Y kisebb, mint az ⟨X⟩ burok, léteznie kell olyan x vektornak, amely benne van az ⟨X⟩ burokban, de nincs benne az Y-ban, azaz x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Ugyanakkor az x vektornak előállíthatónak kell lennie az X vektorainak lineáris kombinációjaként, tehát léteznek olyan x₁, …, x_n ∈ X vektorok és a₁, …, a_n együtthatók, hogy

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Ha viszont az Y nem tartalmazza ezt az x vektort, miközben tartalmazza az x₁, …, x_n vektorokat, akkor az Y nem lehet vektortér, így altér sem. Az ⟨X⟩ burok tehát a legkisebb olyan altér, amely tartalmazza az X összes vektorát.

A lineáris burok alapvető tulajdonságai

• Mindig igaz, hogy W ⊆ ⟨W⟩. Ez érthető. A W halmaz lineáris burka mindig ugyanakkora vagy nagyobb, mint maga a W halmaz. Mivel az ⟨W⟩ lineáris burok tartalmazza a W vektorainak összes lineáris kombinációját, az ⟨W⟩ buroknak tartalmaznia kell a W összes vektorát is, hiszen ha veszünk egy x ∈ W vektort, akkor a = 1 esetén az a · x = x kombinációt kapjuk.

  Példa: a W = {(1; 0; 0)} halmaz lineáris burka a

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a;0;0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  halmaz. Nyilván igaz, hogy {(1; 0; 0)} ⊆ {(a; 0; 0) | a ∈ ℝ}.

• Mindig igaz, hogy ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Ha egyszer már kiszámítottuk a lineáris burkot, akkor e burok lineáris burka ugyanez a burok. Az ⟨W⟩ tartalmazza a W összes lineáris kombinációját. Ha újra kiszámítanánk az ⟨W⟩ összes lineáris kombinációját, nem kapnánk újakat.

• Legyen adott egy V vektortér, és legyen e tér két részhalmaza (nem feltétlenül altere) W₁ és W₂, azaz W₁, W₂ ⊆ V. Ha egyúttal igaz, hogy W₁ ⊆ W₂, akkor igaz az is, hogy ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Másképp mondva: ha van két vektorhalmazunk, és az egyik kisebb, akkor a kisebb vektorhalmaz lineáris burka kisebb vagy ugyanakkora, mint a nagyobb halmazé.

  Példa: legyen W₁ = {(1; 0; 0)} és W₂ = {(1; 0; 0), (0; 1; 0)}. Látjuk, hogy W₁ ⊆ W₂. Mik lennének a lineáris burkok?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a;0;0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a;b;0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  A W₂ vektorhalmaz „nagyobb burkot generált”, mint a W₁ halmaz, ahogy vártuk. A W₂ halmaz tartalmazza a W₁ halmaz összes vektorát, így a W₁ vektorainak összes lineáris kombinációját egyúttal a W₂ vektoraiból is elő tudjuk állítani.

  Másik példa: W₃ = {(1; 2; 0)} és W₄ = {(1; 2; 0), (5; 10; 0)}. Első pillantásra látszik, hogy a W₄ vektorai összefüggők. Ezért mindkét halmaz ugyanazt a burkot generálja. Tehát bár W₃ ⊂ W₄, mégis ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.