Линейна обвивка

Ако имаме някакво множество от вектори и пресметнем всичките им линейни комбинации, получаваме линейната обвивка на това множество от вектори.

Определение на линейна обвивка

Нека имаме вектори x₁, …, x_n. Вече знаем, че от тези вектори можем да съставим нов вектор с помощта на линейна комбинация. Избираме реални числа a₁, …, a_n и новия вектор y получаваме чрез умножение и събиране

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

По този начин, ако поне един от векторите x_i е различен от нулевия вектор, от множеството вектори x₁, …, x_n можем да получим безброй много „други“ вектори – достатъчно е само да изберем по подходящ начин други коефициенти a₁, …, a_n.

Ако продължим да получаваме вектори все по-нататък, накрая ще получим всички вектори, които можем да получим като линейна комбинация на векторите x₁, …, x_n. Такова множество наричаме линейна обвивка на векторите x₁, …, x_n. Линейната обвивка на множеството от вектори X означаваме с ъглови скоби: ⟨X⟩. Формално бихме могли да запишем линейната обвивка така

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

ако имаме краен брой вектори. Ако имаме безкрайно множество от вектори X, можем да вземем всички крайни подмножества Y_i ⊆ X, тоест |Y_i| = r за някое r ∈ ℕ, и линейната обвивка на множеството X би била обединението на всички множества ⟨Y_i⟩.

Пример

Ще останем при любимото ни векторно пространство ℝ³. Избираме си едноелементното множество X₁ = {(1; 2; 1)} и питаме каква е линейната обвивка на това множество? Това са всички линейни комбинации на вектора (1; 2; 1). Получената обвивка ще има вида

$$⟨X_1⟩=\{(a;2a;a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Това ще са вектори от вида (3; 6; 3),(8; 16; 8),(−1; −2; −1) и т.н. Можем да опитаме да проверим, че сборът на някои два вектора ни дава нов вектор от същия вид:

$$\begin{array}{rcl}(3;6;3)+(3;6;3)& =& (6;12;6)\\ (3;6;3)+(-1;-2;-1)& =& (2;4;2)\\ (8;16;8)+(2;4;2)& =& (10;20;10)\end{array}$$

Втори пример могат да са обикновените вектори X₂ = {(1; 0; 0), (0; 1; 0)}. Когато пресметнем всички линейни комбинации, установяваме, че те имат вида (a; b; 0), където a, b ∈ ℝ. Може да се покаже просто, защото

$$(a;b;0)=a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0).$$

Векторите на тази обвивка са например (0; 8; 0), (14; 15; 0) и т.н. Формално бихме го записали така:

$$⟨X_2⟩=\{(a;b;0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Линейната обвивка като най-малко подпространство

Нека имаме векторно пространство V и някакво множество от вектори X ⊆ V. Линейната обвивка ⟨X⟩ е тогава векторно подпространство на пространството V, тоест обвивката ⟨X⟩ е векторно пространство.

Достатъчно е да докажем, че обвивката ⟨X⟩ е затворена относно събирането и умножението. Това със сигурност е така, защото всеки вектор x ∈ ⟨X⟩ е получен като линейна комбинация на вектори от X.

Линейната обвивка на множеството X е и най-малкото подпространство, което съдържа всички вектори от множеството X. Защо? Най-малкото векторно подпространство, което съдържа векторите от X, трябва да съдържа и всички линейни комбинации на вектори от X – иначе нямаше да е векторно пространство. Можем от противното да допуснем, че съществува някакво по-малко векторно подпространство, нека го означим с Y, което съдържа всички вектори от X, тоест X ⊆ Y. Тъй като според допускането Y е по-малко от обвивката ⟨X⟩, трябва да съществува вектор x, който е в ⟨X⟩, но не е в Y, тоест x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

При това обаче векторът x трябва да може да се построи като линейна комбинация на вектори от X, следователно трябва да съществуват вектори x₁, …, x_n ∈ X и коефициенти a₁, …, a_n, такива че

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Ако обаче Y не съдържа този вектор x, а съдържа векторите x₁, …, x_n, то Y не може да е векторно пространство и следователно не може да е и подпространство. Обвивката ⟨X⟩ е следователно най-малкото подпространство, което съдържа всички вектори от X.

Основни свойства на линейната обвивка

• Винаги е изпълнено, че W ⊆ ⟨W⟩. Това би трябвало да е ясно. Линейната обвивка на множеството W винаги ще е равна на множеството W или по-голяма от него. Тъй като линейната обвивка ⟨W⟩ съдържа всички линейни комбинации на вектори от W, то ⟨W⟩ трябва да съдържа и всички вектори от W, защото ако вземем някакъв вектор x ∈ W, е изпълнено, че за a = 1 получаваме комбинацията a · x = x.

  Пример: линейната обвивка на множеството W = {(1; 0; 0)} е множеството

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a;0;0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Очевидно е изпълнено, че {(1; 0; 0)} ⊆ {(a; 0; 0) | a ∈ ℝ}.

• Винаги е изпълнено, че ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Ако веднъж сме пресметнали линейната обвивка, линейната обвивка на тази обвивка е същата обвивка. ⟨W⟩ съдържа всички линейни комбинации от W. Ако пресметнем отново всички линейни комбинации от ⟨W⟩, няма да получим никакви нови.

• Нека имаме някакво векторно пространство V и две подмножества на това пространство (не непременно подпространства) W₁ и W₂, тоест W₁, W₂ ⊆ V. Ако освен това е изпълнено, че W₁ ⊆ W₂, то е изпълнено и ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  С други думи: ако имаме две множества от вектори, като едното от тях е по-малко, това по-малко множество от вектори има по-малка или същата линейна обвивка като по-голямото множество.

  Пример: нека W₁ = {(1; 0; 0)} и W₂ = {(1; 0; 0), (0; 1; 0)}. Виждаме, че е изпълнено W₁ ⊆ W₂. Какви биха били линейните обвивки?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a;0;0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a;b;0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Множеството от вектори W₂ „породи по-голяма обвивка“ от множеството W₁, което и очаквахме. Множеството W₂ съдържа всички вектори от множеството W₁, така че всички линейни комбинации на вектори от W₁ със сигурност ще успеем да породим и от векторите в W₂.

  Друг пример: W₃ = {(1; 2; 0)} и W₄ = {(1; 2; 0), (5; 10; 0)}. От пръв поглед се вижда, че векторите във W₄ са зависими. Затова двете множества пораждат една и съща обвивка. Тоест макар W₃ ⊂ W₄, е изпълнено ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.