Lineare Hülle

Wenn wir eine Menge von Vektoren haben und alle ihre Linearkombinationen berechnen, erhalten wir die lineare Hülle dieser Menge von Vektoren.

Definition der linearen Hülle

Seien x₁, …, x_n Vektoren. Wir wissen bereits, dass wir aus diesen Vektoren mithilfe einer Linearkombination einen neuen Vektor zusammensetzen können. Wir wählen reelle Zahlen a₁, …, a_n und erhalten den neuen Vektor y durch Multiplizieren und Addieren

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Auf diese Weise können wir aus der Menge der Vektoren x₁, …, x_n unendlich viele „weitere“ Vektoren herstellen, sofern mindestens einer der Vektoren x_i vom Nullvektor verschieden ist – wir müssen nur andere Koeffizienten a₁, …, a_n passend wählen.

Wenn wir immer weiter Vektoren erzeugen, erhalten wir schließlich alle Vektoren, die sich als Linearkombination der Vektoren x₁, …, x_n gewinnen lassen. Eine solche Menge nennen wir die lineare Hülle der Vektoren x₁, …, x_n. Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren X bezeichnen wir mit spitzen Klammern: ⟨X⟩. Formal könnten wir die lineare Hülle so aufschreiben

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

wenn wir endlich viele Vektoren haben. Haben wir eine unendliche Menge von Vektoren X, können wir alle endlichen Teilmengen Y_i ⊆ X nehmen, also |Y_i| = r für ein r ∈ ℕ, und die lineare Hülle der Menge X wäre dann die Vereinigung aller Mengen ⟨Y_i⟩.

Beispiel

Wir bleiben beim beliebten Vektorraum ℝ³. Wir wählen die einelementige Menge X₁ = {(1, 2, 1)} und fragen uns, wie die lineare Hülle dieser Menge aussieht. Es sind alle Linearkombinationen des Vektors (1, 2, 1). Die resultierende Hülle hat die Form

$$⟨X_1⟩=\{[a,2a,a]|a\in \mathbb{R}\}$$

Es sind also Vektoren der Form (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) usw. Wir können versuchen zu überprüfen, dass die Summe zweier dieser Vektoren wieder einen Vektor derselben Form ergibt:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Ein zweites Beispiel sind die klassischen Vektoren X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Wenn wir alle Linearkombinationen berechnen, stellen wir fest, dass sie die Form (a, b, 0) haben, wobei a, b ∈ ℝ. Das lässt sich einfach zeigen, denn

$$[a,b,0]=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Vektoren dieser Hülle sind also zum Beispiel (0, 8, 0), (14, 15, 0) usw. Formal würden wir das so aufschreiben:

$$⟨X_2⟩=\{[a,b,0]|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Die lineare Hülle als kleinster Untervektorraum

Sei V ein Vektorraum und X ⊆ V eine Menge von Vektoren. Die lineare Hülle ⟨X⟩ ist dann ein Untervektorraum von V, d. h. die Hülle ⟨X⟩ ist ein Vektorraum.

Es genügt zu zeigen, dass die Hülle ⟨X⟩ bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist. Das ist sie sicher, denn jeder Vektor x ∈ ⟨X⟩ entstand als Linearkombination von Vektoren aus X.

Die lineare Hülle der Menge X ist zugleich der kleinste Untervektorraum, der alle Vektoren aus der Menge X enthält. Warum? Der kleinste Untervektorraum, der die Vektoren aus X enthält, muss auch alle Linearkombinationen von Vektoren aus X enthalten – sonst wäre er kein Vektorraum. Wir können per Widerspruch annehmen, dass es einen kleineren Untervektorraum gibt, nennen wir ihn Y, der alle Vektoren aus X enthält, also X ⊆ Y. Da Y der Annahme nach kleiner ist als die Hülle ⟨X⟩, muss es einen Vektor x geben, der in ⟨X⟩ liegt, aber nicht in Y, also x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Dabei gilt aber, dass sich der Vektor x als Linearkombination von Vektoren aus X konstruieren lassen muss, es müssen also Vektoren x₁, …, x_n ∈ X und Koeffizienten a₁, …, a_n existieren, sodass

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Wenn aber Y diesen Vektor x nicht enthält und zugleich die Vektoren x₁, …, x_n enthält, kann Y kein Vektorraum und somit auch kein Untervektorraum sein. Die Hülle ⟨X⟩ ist also der kleinste Untervektorraum, der alle Vektoren aus X enthält.

Grundlegende Eigenschaften der linearen Hülle

• Es gilt immer W ⊆ ⟨W⟩. Das sollte klar sein. Die lineare Hülle einer Menge W ist immer gleich der Menge W oder größer als sie. Da die lineare Hülle ⟨W⟩ alle Linearkombinationen von Vektoren aus W enthält, muss ⟨W⟩ auch alle Vektoren aus W enthalten, denn wenn wir einen Vektor x ∈ W nehmen, erhalten wir für a = 1 die Kombination a · x = x.

  Beispiel: Die lineare Hülle der Menge W = {(1, 0, 0)} ist die Menge

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{[a,0,0]|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Offensichtlich gilt {(1, 0, 0)} ⊆ {[a,0, 0] | a ∈ ℝ}.

• Es gilt immer ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Wenn wir die lineare Hülle einmal berechnet haben, ist die lineare Hülle dieser Hülle dieselbe Hülle. ⟨W⟩ enthält alle Linearkombinationen aus W. Würden wir noch einmal alle Linearkombinationen aus ⟨W⟩ berechnen, erhielten wir keine neuen.

• Sei V ein Vektorraum und seien W₁ und W₂ zwei Teilmengen dieses Raums (nicht unbedingt Untervektorräume), d. h. W₁, W₂ ⊆ V. Gilt zugleich W₁ ⊆ W₂, dann gilt auch ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Anders gesagt: Haben wir zwei Mengen von Vektoren, von denen die eine kleiner ist, dann ist die lineare Hülle der kleineren Menge höchstens so groß wie die der größeren Menge.

  Beispiel: Seien W₁ = {(1, 0, 0)} und W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Wir sehen, dass W₁ ⊆ W₂ gilt. Wie sähen die linearen Hüllen aus?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{[a,0,0]|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{[a,b,0]|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Die Menge von Vektoren W₂ hat eine „größere Hülle erzeugt“ als die Menge W₁, was wir erwartet haben. Die Menge W₂ enthält alle Vektoren aus der Menge W₁, also lassen sich alle Linearkombinationen von Vektoren aus W₁ auch aus den Vektoren in W₂ erzeugen.

  Ein anderes Beispiel: W₃ = {(1, 2, 0)} und W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. Auf den ersten Blick sieht man, dass die Vektoren in W₄ linear abhängig sind. Deshalb erzeugen beide Mengen dieselbe Hülle. Also gilt ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩, obwohl W₃ ⊂ W₄.