Span lineare

Se abbiamo un insieme di vettori e calcoliamo tutte le loro combinazioni lineari, otteniamo lo span lineare di quell’insieme di vettori (detto anche sottospazio generato).

Definizione di span lineare

Consideriamo i vettori x₁, …, x_n. Sappiamo già che da questi vettori possiamo costruire un nuovo vettore mediante una combinazione lineare. Scegliamo dei numeri reali a₁, …, a_n e otteniamo il nuovo vettore y moltiplicando e sommando

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

In questo modo, se almeno uno dei vettori x_i è diverso dal vettore nullo, dall’insieme di vettori x₁, …, x_n possiamo ricavare infiniti «altri» vettori: basta scegliere in modo opportuno altri coefficienti a₁, …, a_n.

Se continuiamo a generare vettori, alla fine otterremo tutti i vettori che si possono ottenere come combinazione lineare dei vettori x₁, …, x_n. Chiamiamo questo insieme span lineare dei vettori x₁, …, x_n. Lo span lineare di un insieme di vettori X si indica con le parentesi angolari: ⟨X⟩. Formalmente, lo span lineare si scrive così

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

se abbiamo un numero finito di vettori. Se invece abbiamo un insieme infinito di vettori X, possiamo considerare tutti i sottoinsiemi finiti Y_i ⊆ X, cioè |Y_i| = r per un certo r ∈ ℕ^*, e lo span lineare dell’insieme X sarà allora l’unione di tutti gli insiemi ⟨Y_i⟩.

Esempio

Restiamo nel nostro amato spazio vettoriale ℝ³. Scegliamo l’insieme formato da un solo elemento X₁ = {(1; 2; 1)} e chiediamoci: qual è lo span lineare di questo insieme? Sono tutte le combinazioni lineari del vettore (1; 2; 1). Lo span avrà la forma

$$⟨X_1⟩=\{(a;2a;a)\mid a\in \mathbb{R}\}$$

Saranno quindi vettori della forma (3; 6; 3),(8; 16; 8),(−1; −2; −1) ecc. Possiamo provare a verificare che la somma di due di questi vettori dà un nuovo vettore della stessa forma:

$$\begin{array}{rcl}(3;6;3)+(3;6;3)& =& (6;12;6)\\ (3;6;3)+(-1;-2;-1)& =& (2;4;2)\\ (8;16;8)+(2;4;2)& =& (10;20;10)\end{array}$$

Un secondo esempio sono i classici vettori X₂ = {(1; 0; 0), (0; 1; 0)}. Se calcoliamo tutte le combinazioni lineari, scopriamo che hanno la forma (a; b; 0), dove a, b ∈ ℝ. Lo si mostra facilmente, perché

$$(a;b;0)=a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0).$$

I vettori di questo span sono quindi, per esempio, (0; 8; 0), (14; 15; 0) e così via. Formalmente lo scriveremmo così:

$$⟨X_2⟩=\{(a;b;0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}$$

Lo span lineare come più piccolo sottospazio

Consideriamo uno spazio vettoriale V e un insieme di vettori X ⊆ V. Lo span lineare ⟨X⟩ è allora un sottospazio vettoriale di V, cioè ⟨X⟩ è a sua volta uno spazio vettoriale.

Ci basta dimostrare che lo span ⟨X⟩ è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione per uno scalare. E lo è, perché qualsiasi vettore x ∈ ⟨X⟩ si ottiene come combinazione lineare di vettori di X.

Lo span lineare dell’insieme X è inoltre il più piccolo sottospazio che contiene tutti i vettori dell’insieme X. Perché? Il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene i vettori di X deve contenere anche tutte le combinazioni lineari dei vettori di X, altrimenti non sarebbe uno spazio vettoriale. Possiamo supporre per assurdo che esista un sottospazio vettoriale più piccolo, chiamiamolo Y, che contiene tutti i vettori di X, cioè X ⊆ Y. Poiché, per ipotesi, Y è più piccolo dello span ⟨X⟩, deve esistere un vettore x che sta in ⟨X⟩ ma non in Y, cioè x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Ma il vettore x deve potersi costruire come combinazione lineare di vettori di X, quindi devono esistere dei vettori x₁, …, x_n ∈ X e dei coefficienti a₁, …, a_n tali che

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Se però Y non contiene questo vettore x e contiene invece i vettori x₁, …, x_n, allora Y non può essere uno spazio vettoriale, e quindi nemmeno un sottospazio. Lo span ⟨X⟩ è dunque il più piccolo sottospazio che contiene tutti i vettori di X.

Proprietà fondamentali dello span lineare

• Vale sempre W ⊆ ⟨W⟩. Dovrebbe essere chiaro: lo span lineare dell’insieme W è sempre uguale o più grande dell’insieme W. Poiché lo span ⟨W⟩ contiene tutte le combinazioni lineari dei vettori di W, anche ⟨W⟩ deve contenere tutti i vettori di W: se prendiamo un vettore x ∈ W, per a = 1 otteniamo la combinazione a · x = x.

  Esempio: lo span lineare dell’insieme W = {(1; 0; 0)} è l’insieme

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a;0;0)\mid a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Evidentemente vale {(1; 0; 0)} ⊆ {(a; 0; 0)  ∣  a ∈ ℝ}.

• Vale sempre ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Se abbiamo calcolato lo span lineare una volta, lo span di questo span è lo stesso span. ⟨W⟩ contiene tutte le combinazioni lineari di W. Se calcolassimo di nuovo tutte le combinazioni lineari di ⟨W⟩, non ne otterremmo di nuove.

• Consideriamo uno spazio vettoriale V e due sottoinsiemi di questo spazio (non necessariamente sottospazi) W₁ e W₂, cioè W₁, W₂ ⊆ V. Se vale anche W₁ ⊆ W₂, allora vale ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  In altre parole: se abbiamo due insiemi di vettori e uno è contenuto nell’altro, l’insieme più piccolo ha uno span lineare più piccolo o uguale a quello dell’insieme più grande.

  Esempio: siano W₁ = {(1; 0; 0)} e W₂ = {(1; 0; 0), (0; 1; 0)}. Vediamo che vale W₁ ⊆ W₂. Quali sono i rispettivi span lineari?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a;0;0)\mid a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a;b;0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  L’insieme di vettori W₂ ha «generato uno span più grande» dell’insieme W₁, come ci aspettavamo. L’insieme W₂ contiene tutti i vettori di W₁, quindi tutte le combinazioni lineari dei vettori di W₁ si possono ottenere anche dai vettori di W₂.

  Un altro esempio: W₃ = {(1; 2; 0)} e W₄ = {(1; 2; 0), (5; 10; 0)}. A prima vista si nota che i vettori in W₄ sono dipendenti. Perciò i due insiemi generano lo stesso span. Quindi, anche se W₃ ⊂ W₄, vale ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.