仕事算

仕事算では、ふつう2人の登場人物が、同じ仕事をそれぞれちがう時間で終えます。2人がいっしょに働くと、その仕事にどれだけの時間がかかるかを求めます。

例

ゲームでドラゴンと戦っているところを想像してください。パラディンは剣でドラゴンを 30 秒で倒し、バーバリアンはこん棒でなんと 20 秒で倒します。では、バーバリアンとパラディンがいっしょにドラゴンと戦ったら、何秒で倒せるでしょうか。「いっしょにする仕事」はどれだけになるでしょうか。

まず、勇敢な戦士がそれぞれ1秒間にドラゴンにどれだけダメージを与えるかを調べます。パラディンはドラゴンを 30 秒で倒すので、1秒間にドラゴンのライフの 1/30、つまり30分の1を減らします。ドラゴンのライフが 180 だとすると、パラディンが30秒で倒すには、毎秒 180 / 30 = 6 ずつライフを減らさなければなりません（これがライフの30分の1です）。ここで、180 / 30 は 180 · (1/30) と同じです。

バーバリアンは 20 秒で倒すので、ドラゴンのライフを毎秒 1/20 ずつ減らします。ライフが 180 の同じドラゴンなら、毎秒 180 / 20 = 9 ずつ減らすことになります。

つまり、パラディンは1秒間にドラゴンのライフの 1/30、バーバリアンは 1/20 を減らします。では、2人が力を合わせてドラゴンを倒すには何秒必要でしょうか。少しずつ考えてみましょう。2秒間でドラゴンのライフをどれだけ減らせるでしょうか。

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

ライフの6分の1です。戦士は2人いっしょに戦うので 1/30 + 1/20 を足し、2秒間戦うのでそれを2回足しました。一般に、x 秒間戦うと、ドラゴンのライフを次の式の分だけ減らせることがわかります。

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

あとは1つだけです。ライフをすべて減らせば、ドラゴンは倒れます。ライフ全部は数 1 で表されます。分数 1/30 がドラゴンのライフの30分の1を表しているので、1 はライフ全体になるのです。そこで、上の式を1と等しいとおきます。

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

この方程式を解きます。両辺に 60 をかけると、次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

（式の右の「/」のあとは、両辺に行う計算です。）答えは x = 12 です。つまり、2人は12秒でドラゴンを倒します。なかなかの速さです。

具体的な数を入れて確かめてみましょう。ライフが 180 のドラゴンで、答えは「2人なら12秒で倒せる」でした。パラディンはこのドラゴンのライフを毎秒6、バーバリアンは毎秒9減らします。したがって、12秒間でパラディンは全部で 12 · 6 = 72、バーバリアンは 12 · 9 = 108 のライフを減らします。合わせて 72 + 108 = 180 で、ライフをすべて減らしたことと一致します。

仕事算の例題をほかにも見てみましょう。

例題

• 翔太くんは新しいスマートフォンがほしくてたまりません。お母さんと相談すると、毎週おこづかいをくれることになり、60週間後にはちょうどスマートフォンを買えるだけのお金がたまると言われました。でも翔太くんはなかなかの策士なので、お父さんにも頼みに行きました。お父さんもお金をくれると約束し、30週間後にはもうスマートフォンが買えると言いました。お母さんとお父さんの両方から毎週おこづかいをもらうと、実際には何週間でスマートフォンが買えるでしょうか。

翔太くんは、お母さんから毎週スマートフォンの値段の 1/60、お父さんから 1/30 をもらいます。方程式は前の例とまったく同じように立てます。

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

式 x · 1/60 + x · 1/30 は、x 週間後に翔太くんがスマートフォンの値段のどれだけをためられたかを表します。ちょうど1台分たまるのはいつかを知りたいので、この式を1と等しいとおきます。3台買いたいなら、右辺は3になります。

方程式を解きます。まず、両辺に 60 をかけます。

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

翔太くんは20週間で新しいスマートフォンを買えます。これも実際の値で確かめてみましょう。スマートフォンが90,000円だとすると、お母さんからは毎週その 1/60、つまり1,500円をもらいます。お父さんからは 1/30 で、3,000円です。なかなか気前のよい両親ですね。20週間で、お母さんからは 20 · 1500 = 30000 円、お父さんからは 20 · 3000 = 60000 円をもらいます。合わせて 30000 + 60000 = 90000 円です。

• プールに水を入れる管が3本あります。1本目だけだとプールを100分でいっぱいにし、2本目は75分、3本目は50分でいっぱいにします。3本の管すべてで水を入れると、何分でいっぱいになるでしょうか。

この例題も前の例と同じで、仕事をするものが2つではなく3つになっただけです。方程式は次のようになります。

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

両辺に150をかけて、変形を続けます。

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

これ以上きれいな答えにはなりません。プールは 300/13 分、つまりおよそ23分でいっぱいになります。

• 「のんびり草刈り」社は、原っぱの草を10時間で刈ります。「ダイナマイト造園」社は、同じ原っぱの草を6時間で刈ります。2つの会社がいっしょに働くと、同じ広さの原っぱ2つ分の草を何時間で刈れるでしょうか。

2つの会社は x 時間でどれだけ刈れるでしょうか。これはもうおなじみの式です。

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

ただし、原っぱ2つ分を刈りたいので、方程式の右辺は 1 ではなく 2 になります。

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

あとの計算は同じです。両辺に 30 をかけて変形します。

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7.5\end{array}$$

2つの原っぱは7時間半で刈り終わります。

• 1人の女性は9か月で赤ちゃんを産みます。9人の女性なら何か月で赤ちゃんを産むでしょうか。