Közös munkával kapcsolatos feladatok

A közös munkával kapcsolatos feladatokban általában két különböző szereplő ugyanazt a munkát különböző ideig végzi. A feladat az, hogy megtudjuk, mennyi ideig fog tartani a munka, ha együtt dolgoznak.

Mintafeladat

Képzeld el, hogy egy játékot játszol, amelyben sárkány ellen harcolsz. A Paladin karddal 30 másodperc alatt lekaszabolja a sárkányt, a Barbár pedig buzogánnyal már 20 másodperc alatt péppé veri. A kérdés az, hogy mennyi idő alatt ölnék meg a sárkányt, ha a Barbár és a Paladin együtt harcolna ellene? Mennyi „közös munkát” kell végezniük?

A feladatot úgy oldjuk meg, hogy először kiderítjük, mennyi kárt okoznak a sárkánynak egy másodperc alatt a rettenthetetlen harcosok külön-külön. Mivel a Paladin 30 másodperc alatt öli meg a sárkányt, egy másodperc alatt a sárkány életerejének 1/30 részét veszi el, vagyis egyharmincadát. Ha a sárkánynak 180 életereje lenne, akkor ahhoz, hogy a Paladin harminc másodperc alatt megölje, minden másodpercben 180 / 30 = 6 életerőt kell elvennie (ez az életerejének egyharmincada). A 180 / 30 pedig ugyanaz, mint a 180 · (1/30).

A Barbár 20 másodperc alatt öli meg, tehát minden másodpercben az életerejének 1/20 részét veszi el. Az ugyanilyen, 180 életerejű sárkánynak így másodpercenként 180 / 20 = 9 életerőt venne el.

Tehát a Paladin másodpercenként a sárkány életerejének 1/30 részét veszi el, a Barbár 1/20 részét. Most azt kérdezzük, hány másodpercre van szükség ahhoz, hogy ezek az urak együttes erővel megöljék. Nézhetjük fokozatosan is – mennyi életerőt vennének el két másodperc alatt?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Ez az életerejének egyhatoda lenne. Összeadjuk az 1/30 + 1/20 összeget, mert a harcosok együtt küzdenek, és ezt összesen kétszer adjuk össze, mert két másodpercig harcolnak. Látjuk, hogy ezt általánosíthatjuk: ha x másodpercig harcolnak, akkor a sárkány életerejének

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

részét veszik el. Most már csak egy dolog van hátra – a sárkány akkor hal meg, ha az összes életerejét elveszik. Az összes életerőt az 1 szám jelenti, mert az 1/30 tört a sárkány életerejének harmincadát jelenti – az 1 szám tehát a sárkány teljes életereje. Az előző kifejezést tehát egyenlővé tesszük eggyel:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

és keressük a megoldást. Az egész egyenletet megszorozzuk 60-nal, így kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Azt kapjuk, hogy x = 12. Ez azt jelenti, hogy a sárkányt 12 másodperc alatt ölik meg. Ez nem rossz.

Megpróbálhatjuk ellenőrizni konkrét számok behelyettesítésével. Volt egy 180 életerejű sárkányunk, és az eredmény szerint együtt 12 másodperc alatt ölik meg. A Paladin ennek a sárkánynak 6 életerőt vesz el másodpercenként, a Barbár 9-et. Ez azt jelenti, hogy a Paladin összesen 12 másodperc alatt 12 · 6 = 72 életerőt vesz el, a Barbár pedig 12 · 9 = 108 életerőt. Együtt tehát 72 + 108 = 180 életerőt vettek el, ami egybevág azzal, hogy az összes életerejét elvették.

Nézz meg még néhány megoldott példát a közös munkára:

Példák

• Tomi nagyon szeretne venni egy új mobiltelefont. Megegyezett az anyukájával, aki azt mondta, hogy minden héten ad neki zsebpénzt, és 60 hét múlva pont annyi pénze lesz, amennyi az áhított mobilra kell. Csakhogy Tomi nem mai gyerek, ezért az apukájához is elment. Ő is zsebpénzt ígért neki, és azt mondta, hogy az új mobilra már 30 hét múlva lesz pénze. Valójában mennyi idő múlva lesz Tominak új mobilja, ha az anyukájától is és az apukájától is kapja a heti zsebpénzt?

Az anyukájától Tomi minden héten a mobil árának 1/60 részét kapja, az apukájától pedig a mobil árának 1/30 részét. Az egyenletet pontosan úgy állítjuk fel, mint az előző esetben:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Az x · 1/60 + x · 1/30 kifejezés megadja, hogy x hét után a mobil árának hányadrészét takarítja meg Tomi. Mivel azt kérdezzük, mikor lesz pont annyi pénze, amennyi a mobilra kell, ezt a kifejezést egyenlővé tesszük eggyel. Ha három mobilt akarna venni, a jobb oldalon 3 állna.

Megoldjuk az egyenletet. Először megszorozzuk 60-nal:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Az eredmény: Tominak 20 hét múlva lesz új mobilja. Ezt megint ellenőrizhetjük valós értékek behelyettesítésével: ha a mobil 135 000 forintba kerülne, akkor az anyukájától minden héten ennek az árnak az 1/60 részét kapná, vagyis 2250 forintot. Az apukájától az 1/30 részét kapná, ami 4500 forint. Hát, elég nagylelkű szülei vannak. 20 hét alatt az anyukájától 20 · 2250 = 45 000 forintot kapna, az apukájától pedig 20 · 4500 = 90 000 forintot. Összesen tehát 45 000 + 90 000 = 135 000 forintot kapna.

• A medencébe összesen három cső vezet. Az egyik 100 perc alatt tölti meg a medencét, a másik 75 perc alatt, az utolsó pedig 50 perc alatt. Mennyi idő alatt telik meg a medence, ha mindhárom csőből egyszerre töltjük?

Ez a példa megint ugyanolyan, mint az előzők, csak a közös munka két szereplője helyett három szereplő van. Az egyenlet tehát így néz ki:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Az egyenletet megszorozzuk 150-nel, és tovább alakítjuk:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Szebb eredményt már nem kapunk, a medence 300/13 perc alatt telik meg, ami körülbelül 23 perc.

• A Fűnyíró Kft. tíz óra alatt lenyír egy rétet. A Dinamitos Ibolyaszedő Kft. hat óra alatt nyír le egy rétet. Hány óra alatt nyírna le két ilyen rétet a két cég, ha együtt dolgoznának?

Mennyit nyír le a két cég x óra alatt? Ez már a szokásos kifejezés:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Mivel viszont azt akarjuk, hogy két rétet nyírjanak le, az egyenlet jobb oldalán nem 1, hanem 2 áll:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

A számítás innen ugyanúgy megy. Az egész egyenletet megszorozzuk 30-cal, és alakítjuk:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

A két rétet hét és fél óra alatt nyírnák le.

• Egy nő kilenc hónap alatt szül gyereket. Hány hónap alatt szül gyereket kilenc nő?