Problemi di lavoro in comune

I problemi di lavoro in comune di solito coinvolgono due personaggi diversi che svolgono lo stesso lavoro in tempi diversi. Il compito è scoprire quanto tempo impiegheranno a svolgere il lavoro se lavorano insieme.

Un problema di esempio

Immagina di giocare a un videogioco in cui combatti contro un drago. Il Paladino con la spada fa a pezzi il drago in 30 secondi, mentre il Barbaro con la clava lo massacra addirittura in 20 secondi. La domanda è: in quanto tempo ucciderebbero il drago se il Barbaro e il Paladino lo combattessero insieme? Quanto «lavoro in comune» devono compiere?

Risolviamo il problema scoprendo prima quanto danno infliggono al drago in un secondo i singoli coraggiosi guerrieri. Poiché il Paladino uccide il drago in 30 secondi, in un secondo gli toglie 1/30 dei punti vita, cioè un trentesimo dei punti vita. Se il drago avesse 180 punti vita, per ucciderlo in trenta secondi il Paladino deve togliergli ogni secondo 180 / 30 = 6 punti vita (che è un trentesimo dei suoi punti vita). Del resto 180 / 30 è la stessa cosa di 180 · (1/30).

Il Barbaro lo uccide in 20 secondi, quindi al drago toglie ogni secondo 1/20 dei suoi punti vita. Allo stesso drago con 180 punti vita toglierebbe quindi ogni secondo 180 / 20 = 9 punti vita.

Quindi il Paladino toglie al drago in un secondo 1/30 dei suoi punti vita, il Barbaro 1/20. Ora ci chiediamo: quanti secondi servono perché i due prodi lo uccidano unendo le forze? Possiamo ragionare passo per passo: quanti punti vita toglierebbero al drago in due secondi?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Sarebbe un sesto dei suoi punti vita. Sommiamo 1/30 + 1/20, perché i guerrieri combattono insieme, e lo sommiamo in tutto due volte, perché combattono per due secondi. Vediamo che possiamo generalizzare: se combattono per x secondi, tolgono al drago

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

dei punti vita. Ora resta solo una cosa: il drago muore quando gli tolgono tutti i punti vita. Tutti i punti vita sono rappresentati dal numero 1, perché la frazione 1/30 rappresenta un trentesimo dei punti vita del drago – il numero 1 è quindi il totale dei punti vita del drago. Basta quindi porre l’espressione precedente uguale a uno:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

e cerchiamo la soluzione. Moltiplichiamo tutta l’equazione per 60 e otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Otteniamo x = 12. Ciò significa che uccideranno il drago in 12 secondi. Non male.

Possiamo provare a verificarlo sostituendo numeri concreti. Avevamo un drago con 180 punti vita e il risultato dice che insieme lo uccidono in 12 secondi. Il Paladino toglie a questo drago 6 punti vita al secondo, il Barbaro 9. Questo significa che in 12 secondi il Paladino toglie al drago in tutto 12 · 6 = 72 punti vita e il Barbaro 12 · 9 = 108 punti vita. In totale gliene hanno tolti 72 + 108 = 180, e i conti tornano: gli hanno tolto tutti i punti vita.

Guarda altri esercizi svolti sul lavoro in comune:

Esercizi

• Luca vorrebbe tantissimo comprarsi un telefonino nuovo. Si è messo d’accordo con la mamma, che gli ha detto che gli darà ogni settimana la paghetta e che dopo 60 settimane avrà giusto i soldi per il telefonino tanto desiderato. Ma Luca non è nato ieri e così è andato anche dal papà. Anche lui gli ha promesso dei soldi e gli ha detto che per il telefonino nuovo avrà i soldi addirittura già dopo 30 settimane. In quanto tempo, in realtà, Luca avrà il telefonino nuovo, se riceverà la paghetta settimanale sia dalla mamma sia dal papà?

Dalla mamma Luca riceve ogni settimana 1/60 del prezzo del telefonino, dal papà 1/30 del prezzo del telefonino. L’equazione la impostiamo esattamente come nel caso precedente:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

L’espressione x · 1/60 + x · 1/30 ci dice quanta parte del prezzo del telefonino Luca avrà risparmiato dopo x settimane. Poiché ci chiediamo quando avrà giusto i soldi per quel telefonino, poniamo questa espressione uguale a uno. Se volesse comprare tre telefonini, al secondo membro ci sarebbe il numero tre.

Risolviamo l’equazione. Per prima cosa la moltiplichiamo per 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Il risultato è che Luca avrà il telefonino nuovo in 20 settimane. Possiamo di nuovo verificarlo sostituendo valori reali: se il telefonino costasse 360 euro, dalla mamma riceverebbe ogni settimana 1/60 di questo prezzo, cioè 6 euro. Dal papà riceverebbe 1/30 di questo prezzo, cioè 12 euro. Che genitori generosi! In 20 settimane riceverebbe dalla mamma 20 · 6 = 120 euro, mentre dal papà otterrebbe 20 · 12 = 240 euro. In totale riceverebbe 120 + 240 = 360 euro.

• In una piscina arrivano in tutto tre tubi. Una riempie la piscina in 100 minuti, un’altra in 75 minuti e l’ultima in 50 minuti. In quanto tempo si riempie la piscina se viene riempita da tutti e tre i tubi insieme?

Questo esercizio è di nuovo uguale ai casi precedenti, solo che al posto di due protagonisti del lavoro in comune ne abbiamo tre. L’equazione sarà quindi:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Moltiplichiamo l’equazione per 150 e proseguiamo con i passaggi:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Un risultato più bello di questo non lo otteniamo: la piscina si riempie in 300/13 minuti, cioè circa 23 minuti.

• La ditta Taglio e Rasoterra falcia un prato in dieci ore. La ditta Margherite alla Dinamite falcia il prato in sei ore. In quante ore queste ditte falcerebbero due prati uguali, se lavorassero insieme?

Quanto falciano le due ditte in x ore? È ormai un’espressione classica:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Ma poiché vogliamo che falcino due prati, al secondo membro dell’equazione non ci sarà 1, ma ci sarà 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Il calcolo poi procede allo stesso modo. Moltiplichiamo tutta l’equazione per 30 e svolgiamo i passaggi:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

I due prati verrebbero falciati in sette ore e mezza.

• Una donna mette al mondo un bambino in nove mesi. In quanti mesi metteranno al mondo un bambino nove donne?