Uppgifter om gemensamt arbete

Uppgifter om gemensamt arbete handlar oftast om två olika figurer som gör samma arbete på olika lång tid. Uppgiften är att ta reda på hur lång tid arbetet tar om de arbetar tillsammans.

Exempeluppgift

Tänk dig att du spelar ett spel där du slåss mot en drake. Paladinen hackar sönder draken med sitt svärd på 30 sekunder, medan Barbaren med sin klubba mosar den på bara 20 sekunder. Frågan är hur lång tid det skulle ta att döda draken om Barbaren och Paladinen slogs mot den tillsammans. Hur mycket ”gemensamt arbete” behöver de lägga ner?

Vi löser uppgiften genom att först ta reda på hur mycket skada var och en av de orädda krigarna gör på draken på en sekund. Eftersom Paladinen dödar draken på 30 sekunder tar han på en sekund 1/30 av drakens livspoäng, en trettiondel av livspoängen. Om draken hade 180 livspoäng måste Paladinen, för att döda den på trettio sekunder, ta bort 180 / 30 = 6 livspoäng varje sekund (det är en trettiondel av dess livspoäng). Och 180 / 30 är samma sak som 180 · (1/30).

Barbaren dödar den på 20 sekunder, så han tar bort 1/20 av drakens livspoäng varje sekund. Från samma drake med 180 livspoäng skulle han alltså ta 180 / 20 = 9 livspoäng varje sekund.

Paladinen tar alltså 1/30 av drakens livspoäng per sekund, Barbaren 1/20. Nu frågar vi oss hur många sekunder det krävs för att de två herrarna ska döda den med gemensamma krafter. Vi kan titta på det steg för steg – hur stor del av livspoängen skulle de ta från draken på två sekunder?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Det skulle vara en sjättedel av dess livspoäng. Vi adderar 1/30 + 1/20, eftersom krigarna slåss tillsammans, och det adderar vi sammanlagt två gånger, eftersom de slåss i två sekunder. Vi ser att vi kan generalisera det så att när de slåss i x sekunder tar de från draken

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

av dess livspoäng. Nu återstår bara en sak – draken dör när alla livspoäng är borta. Alla livspoäng representeras av talet 1, eftersom bråket 1/30 står för en trettiondel av drakens livspoäng – talet 1 är alltså drakens samtliga livspoäng. Vi sätter det föregående uttrycket lika med ett:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

och söker lösningen. Vi multiplicerar hela ekvationen med 60 och får:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Det blir x = 12. Det betyder att de dödar draken på 12 sekunder. Inte illa.

Vi kan kontrollera det genom att sätta in konkreta tal. Vi hade en drake med 180 livspoäng, och resultatet säger att de tillsammans dödar den på 12 sekunder. Paladinen tar av den här draken 6 livspoäng per sekund, Barbaren 9. Det betyder att Paladinen på 12 sekunder tar 12 · 6 = 72 livspoäng och Barbaren 12 · 9 = 108 livspoäng. Tillsammans tog de 72 + 108 = 180 livspoäng, vilket stämmer med att de tog alla livspoäng.

Gå igenom fler lösta exempel på gemensamt arbete:

Exempel

• Hugo skulle jättegärna vilja köpa en ny mobil. Han kom överens med mamma, som sa att hon skulle ge honom veckopeng varje vecka och att han efter 60 veckor skulle ha precis så mycket pengar att det räckte till den efterlängtade mobilen. Men Hugo är inte född i går, så han gick också till pappa. Pappa lovade också pengar och sa att han skulle ha råd med en ny mobil redan efter 30 veckor. Hur lång tid tar det i verkligheten innan Hugo har en ny mobil, om han får veckopeng både av mamma och av pappa?

Av mamma får Hugo varje vecka 1/60 av mobilens pris, av pappa 1/30 av mobilens pris. Ekvationen ställer vi upp precis som i det föregående fallet:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Uttrycket x · 1/60 + x · 1/30 talar om hur stor del av mobilens pris Hugo har sparat ihop efter x veckor. Eftersom vi frågar när han har precis tillräckligt för mobilen sätter vi uttrycket lika med ett. Om han ville köpa tre mobiler skulle det stå talet tre i högerledet.

Vi löser ekvationen. Först multiplicerar vi den med 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Resultatet är att Hugo har en ny mobil om 20 veckor. Vi kan återigen kontrollera det genom att sätta in verkliga värden: om mobilen kostade 9000 kr skulle han få 1/60 av det priset varje vecka från mamma, dvs. 150 kr. Från pappa skulle han få 1/30 av priset, vilket är 300 kr. Han har ganska generösa föräldrar. På 20 veckor skulle han få 20 · 150 = 3000 kr av mamma, medan han skulle få 20 · 300 = 6000 kr av pappa. Sammanlagt skulle han få 3000 + 6000 = 9000 kr.

• Till en bassäng leder sammanlagt tre rör. Det ena fyller bassängen på 100 minuter, det andra på 75 minuter och det sista på 50 minuter. Hur lång tid tar det att fylla bassängen om vatten rinner in genom alla tre rören?

Det här exemplet är återigen likadant som i de föregående fallen, men i stället för två aktörer i det gemensamma arbetet har vi tre. Ekvationen blir alltså:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Vi multiplicerar ekvationen med 150 och fortsätter omformningarna:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Ett finare resultat än så får vi inte, bassängen fylls på 300/13 minuter, vilket är ungefär 23 minuter.

• Firman Gräs & Gräs klipper en äng på tio timmar. Firman Dynamit-Blommor klipper ängen på sex timmar. Hur många timmar skulle de här firmorna behöva för att klippa två sådana ängar om de arbetade tillsammans?

Hur mycket klipper de båda firmorna på x timmar? Det är ett klassiskt uttryck:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Men eftersom vi vill att de ska klippa två ängar blir det inte 1 i högerledet utan 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Därefter går beräkningen till på samma sätt. Vi multiplicerar hela ekvationen med 30 och omformar:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

De skulle klippa båda ängarna på sju och en halv timme.

• En kvinna föder ett barn på nio månader. Hur många månader tar det för nio kvinnor att föda ett barn?