Probleme de lucru în comun

Problemele de lucru în comun implică de obicei două personaje care fac aceeași muncă, fiecare în alt timp. Sarcina este să aflăm cât timp vor lucra dacă lucrează împreună.

Exemplu de problemă

Imaginează-ți că joci un joc în care lupți împotriva unui dragon. Paladinul face dragonul bucăți cu sabia în 30 de secunde, iar Barbarul îl zdrobește cu ciomagul în doar 20 de secunde. Întrebarea este în cât timp ar ucide dragonul dacă Barbarul și Paladinul s-ar lupta cu el împreună. Câtă „muncă în comun” trebuie să depună?

Rezolvăm problema aflând mai întâi cât rău îi face dragonului fiecare dintre neînfricații luptători într-o secundă. Deoarece Paladinul ucide dragonul în 30 de secunde, într-o secundă îi ia dragonului 1/30 din viață, o treizecime din viață. Dacă dragonul ar avea 180 de puncte de viață, ca Paladinul să-l ucidă în treizeci de secunde, trebuie să-i ia în fiecare secundă 180 / 30 = 6 puncte de viață (adică o treizecime din viața lui). Iar 180 / 30 este același lucru cu 180 · (1/30).

Barbarul îl ucide în 20 de secunde, deci îi ia dragonului în fiecare secundă 1/20 din viață. Aceluiași dragon cu 180 de puncte de viață i-ar lua deci în fiecare secundă 180 / 20 = 9 puncte de viață.

Așadar Paladinul îi ia dragonului într-o secundă 1/30 din viață, Barbarul 1/20. Acum ne întrebăm câte secunde sunt necesare ca acești domni să-l ucidă unindu-și forțele. Ne putem uita pas cu pas – cât din viață i-ar lua dragonului în două secunde?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Ar fi o șesime din viața lui. Adunăm 1/30 + 1/20, pentru că războinicii luptă împreună, și adunăm asta de două ori în total, pentru că luptă două secunde. Vedem că putem generaliza: dacă luptă x secunde, îi iau dragonului

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

din viață. Acum mai rămâne un singur lucru – dragonul moare când i se ia toată viața. Toată viața este reprezentată de numărul 1, pentru că fracția 1/30 reprezintă o treizecime din viața dragonului – deci numărul 1 este întreaga viață a dragonului. Expresia de mai sus o egalăm așadar cu unu:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

și căutăm soluția. Înmulțim toată ecuația cu 60 și obținem:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Obținem x = 12. Asta înseamnă că ucid dragonul în 12 secunde. Nu e rău.

Putem verifica înlocuind cu numere concrete. Am avut un dragon cu 180 de puncte de viață, iar rezultatul spune că împreună îl ucid în 12 secunde. Paladinul îi ia acestui dragon 6 puncte de viață pe secundă, Barbarul 9. Asta înseamnă că Paladinul îi ia dragonului în total, în 12 secunde, 12 · 6 = 72 de puncte de viață, iar Barbarul 12 · 9 = 108 puncte de viață. În total i-au luat 72 + 108 = 180 de puncte de viață, ceea ce se potrivește cu faptul că i-au luat toată viața.

Parcurge și alte exemple rezolvate de lucru în comun:

Exemple

• Tudor și-ar dori foarte mult un telefon nou. S-a înțeles cu mama, care i-a spus că îi va da în fiecare săptămână bani de buzunar și că după 60 de săptămâni va avea exact banii pentru telefonul dorit. Numai că Tudor nu e de ieri, de azi, așa că s-a dus și la tata. Acesta i-a promis și el bani și i-a spus că va avea bani pentru telefonul nou deja după 30 de săptămâni. În cât timp va avea de fapt Tudor telefonul nou, dacă va primi banii de buzunar săptămânali și de la mama, și de la tata?

De la mama primește Tudor în fiecare săptămână 1/60 din prețul telefonului, de la tata 1/30 din prețul telefonului. Ecuația o scriem exact ca în cazul precedent:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Expresia x · 1/60 + x · 1/30 ne spune cât din prețul telefonului va avea Tudor economisit după x săptămâni. Deoarece ne întrebăm când va avea exact cât costă telefonul, egalăm această expresie cu unu. Dacă ar vrea să cumpere trei telefoane, în membrul drept ar fi numărul trei.

Rezolvăm ecuația. Mai întâi o înmulțim cu 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Rezultatul este că Tudor va avea telefonul nou în 20 de săptămâni. Putem verifica din nou cu valori reale: dacă telefonul ar costa 1800 de lei, de la mama ar primi în fiecare săptămână 1/60 din acest preț, adică 30 de lei. De la tata ar primi 1/30 din acest preț, adică 60 de lei. Ei bine, are părinți destul de generoși. În 20 de săptămâni ar primi de la mama 20 · 30 = 600 de lei, iar de la tata ar primi 20 · 60 = 1200 de lei. În total ar primi 600 + 1200 = 1800 de lei.

• Un bazin este alimentat în total prin trei conducte. Una umple bazinul în 100 de minute, alta în 75 de minute, iar ultima în 50 de minute. În cât timp se umple bazinul dacă se alimentează prin toate cele trei conducte?

Această problemă este din nou la fel ca cele precedente, doar că în loc de doi participanți la munca în comun avem trei. Ecuația va arăta astfel:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Înmulțim ecuația cu 150 și continuăm transformările:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Un rezultat mai frumos nu vom obține, bazinul se umple în 300/13 minute, adică aproximativ 23 de minute.

• Firma „Coasă Repede” cosește o pajiște în zece ore. Firma „Culegem Violete cu Dinamită” cosește pajiștea în șase ore. În câte ore ar cosi aceste firme două pajiști ca aceasta, dacă ar lucra împreună?

Cât cosesc ambele firme în x ore? Este deja expresia clasică:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Dar, pentru că vrem să cosească două pajiști, în membrul drept al ecuației nu va fi 1, ci 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Mai departe calculul decurge la fel. Înmulțim toată ecuația cu 30 și transformăm:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

Ambele pajiști ar fi cosite în șapte ore și jumătate.

• O femeie naște un copil în nouă luni. În câte luni nasc nouă femei un copil?