Aufgaben zur gemeinsamen Arbeit
Aufgaben zur gemeinsamen Arbeit enthalten meist zwei verschiedene Figuren, die dieselbe Arbeit unterschiedlich lange machen. Die Aufgabe besteht darin herauszufinden, wie lange sie für die Arbeit brauchen, wenn sie zusammenarbeiten.
Musteraufgabe
Stell dir vor, du spielst ein Spiel, in dem du gegen einen Drachen kämpfst. Der Paladin zerhackt den Drachen mit dem Schwert in 30 Sekunden, während der Barbar ihn mit der Keule sogar in 20 Sekunden zermalmt. Die Frage lautet: Wie lange würden sie brauchen, um den Drachen zu töten, wenn der Barbar und der Paladin gemeinsam gegen den Drachen kämpfen würden? Wie viel „gemeinsame Arbeit“ müssen sie aufwenden?
Wir lösen die Aufgabe, indem wir zuerst herausfinden, wie viel Schaden die einzelnen furchtlosen Kämpfer dem Drachen in einer Sekunde zufügen. Da der Paladin den Drachen in 30 Sekunden tötet, nimmt er ihm in einer Sekunde 1/30 der Lebenspunkte, also ein Dreißigstel. Hätte der Drache 180 Lebenspunkte, dann muss ihm der Paladin, damit er ihn in dreißig Sekunden tötet, jede Sekunde 180 / 30 = 6 Lebenspunkte abziehen (das ist ein Dreißigstel seiner Lebenspunkte). Dabei ist 180 / 30 dasselbe wie 180 · (1/30).
Der Barbar tötet ihn in 20 Sekunden, also zieht er dem Drachen jede Sekunde 1/20 seiner Lebenspunkte ab. Demselben Drachen mit 180 Lebenspunkten würde er so jede Sekunde 180 / 20 = 9 Lebenspunkte abziehen.
Der Paladin zieht dem Drachen also pro Sekunde 1/30 seiner Lebenspunkte ab, der Barbar 1/20. Nun fragen wir, wie viele Sekunden nötig sind, damit diese Herren ihn gemeinsam töten. Wir können es schrittweise betrachten – wie viele Lebenspunkte würden sie dem Drachen in zwei Sekunden abziehen?
Das wäre ein Sechstel seiner Lebenspunkte. Wir addieren 1/30 + 1/20, weil die Krieger zusammen kämpfen, und das addieren wir insgesamt zweimal, weil sie zwei Sekunden kämpfen. Wir sehen, dass wir das verallgemeinern können: Kämpfen sie x Sekunden, ziehen sie dem Drachen
Lebenspunkte ab. Jetzt bleibt nur noch eines – der Drache stirbt, wenn ihm alle Lebenspunkte abgezogen wurden. Alle Lebenspunkte stellt die Zahl 1 dar, denn der Bruch 1/30 steht für ein Dreißigstel der Lebenspunkte des Drachen – die Zahl 1 ist also die gesamte Anzahl der Lebenspunkte des Drachen. Den vorherigen Term setzen wir daher einfach gleich eins:
und suchen die Lösung. Wir multiplizieren die ganze Gleichung mit 60, dadurch erhalten wir:
Wir erhalten x = 12. Das bedeutet, dass sie den Drachen in 12 Sekunden töten. Das ist nicht schlecht.
Wir können das auch durch Einsetzen konkreter Zahlen überprüfen. Wir hatten einen Drachen mit 180 Lebenspunkten, und das Ergebnis besagt, dass sie ihn zusammen in 12 Sekunden töten. Der Paladin zieht diesem Drachen 6 Lebenspunkte pro Sekunde ab, der Barbar 9. Das bedeutet, dass der Paladin dem Drachen in 12 Sekunden insgesamt 12 · 6 = 72 Lebenspunkte abzieht und der Barbar 12 · 9 = 108 Lebenspunkte. Zusammen haben sie ihm 72 + 108 = 180 Lebenspunkte abgezogen, was damit übereinstimmt, dass sie ihm alle Lebenspunkte abgezogen haben.
Sieh dir weitere gelöste Beispiele zur gemeinsamen Arbeit an:
Beispiele
- Tim hätte furchtbar gern ein neues Handy. Er hat sich mit seiner Mutter geeinigt, die ihm gesagt hat, dass sie ihm jede Woche Taschengeld gibt und dass er nach 60 Wochen genau genug Geld für das ersehnte Handy haben wird. Aber Tim ist nicht von gestern und ging deshalb auch zu seinem Vater. Der versprach ihm ebenfalls Geld und sagte ihm, dass er das neue Handy sogar schon nach 30 Wochen haben wird. Wie lange dauert es in Wirklichkeit, bis Tim ein neues Handy hat, wenn er wöchentliches Taschengeld sowohl von der Mutter als auch vom Vater bekommt?
Von der Mutter bekommt Tim jede Woche 1/60 des Handypreises, vom Vater 1/30 des Handypreises. Die Gleichung stellen wir genauso auf wie im vorherigen Fall:
Der Term x · 1/60 + x · 1/30 gibt an, wie viel vom Handypreis Tim nach x Wochen gespart hat. Da wir fragen, wann er genau so viel hat, wie das Handy kostet, setzen wir diesen Term gleich eins. Wollte er drei Handys kaufen, stünde auf der rechten Seite die Zahl drei.
Wir lösen die Gleichung. Zuerst multiplizieren wir sie mit 60:
Das Ergebnis ist, dass Tim das neue Handy in 20 Wochen haben wird. Wir können das wieder durch Einsetzen konkreter Werte überprüfen: Würde das Handy 360 Euro kosten, bekäme er von der Mutter jede Woche 1/60 dieses Preises, also 6 Euro. Vom Vater bekäme er 1/30 dieses Preises, das sind 12 Euro. Na, er hat ziemlich großzügige Eltern. In 20 Wochen würde er von der Mutter 20 · 6 = 120 Euro erhalten, vom Vater dagegen 20 · 12 = 240 Euro. Insgesamt hätte er 120 + 240 = 360 Euro bekommen.
- In ein Schwimmbecken führen insgesamt drei Rohre. Das eine füllt das Becken in 100 Minuten, das zweite in 75 Minuten und das letzte in 50 Minuten. Wie lange dauert es, das Becken zu füllen, wenn es aus allen drei Rohren befüllt wird?
Dieses Beispiel ist wieder wie in den vorherigen Fällen, nur haben wir statt zwei Beteiligten der gemeinsamen Arbeit drei. Die Gleichung sieht also so aus:
Wir multiplizieren die Gleichung mit 150 und formen weiter um:
Ein schöneres Ergebnis bekommen wir nicht, das Becken füllt sich in 300/13 Minuten, das sind ungefähr 23 Minuten.
- Die Firma Mähe und Schneide mäht eine Wiese in zehn Stunden. Die Firma Veilchen-Dynamit mäht die Wiese in sechs Stunden. In wie vielen Stunden würden diese Firmen zwei solche Wiesen mähen, wenn sie zusammenarbeiten würden?
Wie viel mähen beide Firmen in x Stunden? Das ist schon der klassische Term:
Da wir aber wollen, dass sie zwei Wiesen mähen, steht auf der rechten Seite der Gleichung nicht 1, sondern 2:
Die Rechnung verläuft dann genauso. Wir multiplizieren die ganze Gleichung mit 30 und formen um:
Beide Wiesen würden sie in siebeneinhalb Stunden mähen.
- Eine Frau bringt in neun Monaten ein Kind zur Welt. In wie vielen Monaten bringen neun Frauen ein Kind zur Welt?
