Problèmes de travail en commun

Les problèmes de travail en commun mettent généralement en scène deux personnages différents qui font le même travail en des temps différents. Il s’agit de déterminer combien de temps ils mettront à accomplir ce travail s’ils le font ensemble.

Un exemple

Imagine-toi que tu joues à un jeu dans lequel tu combats un dragon. Le paladin tranche le dragon à l’épée en 30 secondes, tandis que le barbare l’assomme à coups de massue en seulement 20 secondes. La question est : en combien de temps tueraient-ils le dragon s’ils le combattaient ensemble ? Quelle quantité de « travail commun » doivent-ils fournir ?

Pour résoudre ce problème, déterminons d’abord la part de vie que chaque combattant retire au dragon en une seconde. Comme le paladin tue le dragon en 30 secondes, il lui retire chaque seconde 1/30 de ses points de vie, soit un trentième. Si le dragon avait 180 points de vie, il faudrait que le paladin lui en retire 180 / 30 = 6 chaque seconde pour le tuer en trente secondes (c’est-à-dire un trentième de ses points de vie). Or 180 / 30 est la même chose que 180 · (1/30).

Le barbare tue le dragon en 20 secondes ; il lui retire donc chaque seconde 1/20 de ses points de vie. Pour le même dragon, qui aurait 180 points de vie, il lui retirerait ainsi chaque seconde 180 / 20 = 9 points de vie.

Ainsi, le paladin retire 1/30 des points de vie du dragon par seconde, et le barbare 1/20. Combien de secondes faut-il pour que ces deux-là le tuent ensemble ? Regardons cela pas à pas : combien de points de vie leurs attaques retireraient-elles en deux secondes ?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Cela ferait un sixième des points de vie du dragon. On additionne 1/30 + 1/20, car les combattants combattent ensemble, et on le fait au total deux fois, car ils se battent pendant deux secondes. On voit qu’on peut généraliser : s’ils combattent pendant x secondes, ils retirent au dragon

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

points de vie. Il ne reste plus qu’une chose : le dragon meurt lorsqu’on lui a retiré tous ses points de vie. La totalité des points de vie est représentée par le nombre 1, car la fraction 1/30 représente un trentième des points de vie du dragon : le nombre 1 est donc le nombre total de points de vie du dragon. On pose donc simplement l’expression précédente égale à un :

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

et on cherche la solution. Multiplions toute l’équation par 60 :

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

On trouve donc x = 12. Cela signifie que le dragon sera tué en 12 secondes. Ce n’est pas mal.

Vérifions avec des valeurs concrètes. Nous avions un dragon à 180 points de vie, et le résultat indique qu’ensemble ils le tueront en 12 secondes. Le paladin retire 6 points de vie à ce dragon par seconde, le barbare 9. Le paladin retire donc en tout 12 · 6 = 72 points de vie au dragon en 12 secondes, et le barbare 12 · 9 = 108. Au total, ils lui ont retiré 72 + 108 = 180 points de vie, ce qui correspond bien au fait qu’on lui a retiré tous ses points de vie.

Découvre d’autres exemples corrigés de travail en commun :

Exemples

• Lucas aimerait beaucoup s’acheter un nouveau téléphone. Il s’est arrangé avec sa maman, qui lui a dit qu’elle lui donnerait de l’argent de poche chaque semaine et qu’au bout de 60 semaines il aurait juste assez d’argent pour le téléphone dont il rêve. Mais Lucas n’est pas né de la dernière pluie : il est allé aussi voir son papa. Celui-ci lui a également promis de l’argent et lui a dit qu’il aurait même assez pour le téléphone au bout de 30 semaines. En combien de temps Lucas aura-t-il réellement son téléphone s’il reçoit son argent de poche chaque semaine, de sa maman comme de son papa ?

Chaque semaine, Lucas reçoit de sa maman 1/60 du prix du téléphone, et de son papa 1/30. Posons l’équation exactement comme dans le cas précédent :

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

L’expression x · 1/60 + x · 1/30 donne la part du prix du téléphone que Lucas aura économisée après x semaines. Comme on demande quand il aura juste assez pour ce téléphone, on pose cette expression égale à un. S’il voulait acheter trois téléphones, il y aurait le nombre trois à droite.

Résolvons l’équation. Multiplions-la d’abord par 60 :

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Lucas aura donc son nouveau téléphone au bout de 20 semaines. Vérifions avec des valeurs réelles : si le téléphone coûtait 360 €, sa maman lui donnerait chaque semaine 1/60 de ce prix, soit 6 €. Son papa lui donnerait 1/30 de ce prix, soit 12 €. Eh bien, ses parents sont plutôt généreux. Au bout de 20 semaines, la maman lui aurait donné 20 · 6 = 120 €, et le papa 20 · 12 = 240 €. Au total, il aurait reçu 120 + 240 = 360 €.

• Trois canalisations alimentent une piscine. La première la remplit en 100 minutes, la deuxième en 75 minutes et la dernière en 50 minutes. En combien de temps la piscine sera-t-elle remplie si l’on utilise les trois canalisations en même temps ?

Cet exemple est à nouveau le même que les précédents, sauf qu’il y a trois acteurs du travail commun au lieu de deux. L’équation s’écrit donc :

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Multiplions l’équation par 150 et poursuivons les transformations :

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

On n’obtient pas de résultat plus joli : la piscine se remplit en 300/13 minutes, soit environ 23 minutes.

• L’entreprise « Je fauche et je tonds » fauche une prairie en dix heures. L’entreprise « Je cueille les violettes à la dynamite » fauche une prairie en six heures. En combien d’heures ces deux entreprises fauchent-elles deux prairies de ce type si elles travaillent ensemble ?

Quelle part du travail les deux entreprises accomplissent-elles en x heures ? C’est une expression classique :

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Mais comme nous voulons qu’elles fauchent deux prairies, il n’y a pas 1 à droite de l’équation, mais 2 :

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

La suite du calcul est identique. Multiplions toute l’équation par 30 et simplifions :

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

Les deux prairies seraient fauchées en sept heures et demie.

• Une femme met au monde un enfant en neuf mois. En combien de mois neuf femmes mettent-elles au monde un enfant ?