Oppgaver om felles arbeid

Oppgaver om felles arbeid handler vanligvis om to ulike figurer som gjør det samme arbeidet på ulik tid. Oppgaven er å finne ut hvor lang tid de trenger på arbeidet hvis de jobber sammen.

Eksempeloppgave

Forestill deg at du spiller et spill der du kjemper mot en drage. Paladinen hogger ned dragen med sverd på 30 sekunder, mens Barbaren knuser den med køllen sin på bare 20 sekunder. Spørsmålet er hvor lang tid de ville brukt på å drepe dragen hvis Barbaren og Paladinen kjempet mot den sammen? Hvor mye «felles arbeid» må de legge ned?

Oppgaven løser vi ved først å finne ut hvor mye hver av de fryktløse krigerne skader dragen på ett sekund. Siden Paladinen dreper dragen på 30 sekunder, tar han 1/30 av livspoengene til dragen per sekund, altså en trettiendedel av livspoengene. Hvis dragen hadde 180 livspoeng, må Paladinen, for å drepe den på tretti sekunder, ta 180 / 30 = 6 livspoeng hvert sekund (det er en trettiendedel av livspoengene). Og 180 / 30 er det samme som 180 · (1/30).

Barbaren dreper den på 20 sekunder, så han tar 1/20 av livspoengene hvert sekund. Fra den samme dragen med 180 livspoeng ville han altså tatt 180 / 20 = 9 livspoeng hvert sekund.

Paladinen tar altså 1/30 av livspoengene til dragen per sekund, Barbaren 1/20. Nå spør vi: Hvor mange sekunder trengs det for at disse herrene skal drepe den med felles krefter? Vi kan se på det trinnvis — hvor mange livspoeng ville de tatt fra dragen på to sekunder?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Det ville være en sjettedel av livspoengene. Vi legger sammen 1/30 + 1/20, fordi krigerne kjemper sammen, og vi gjør det to ganger til sammen, fordi de kjemper i to sekunder. Vi ser at vi kan generalisere det slik at når de kjemper i x sekunder, tar de fra dragen

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

livspoeng. Nå gjenstår bare én ting — dragen dør når de har tatt alle livspoengene. Alle livspoengene representeres av tallet 1, fordi brøken 1/30 representerer en trettiendedel av livspoengene til dragen — tallet 1 er derfor det totale antallet livspoeng. Det forrige uttrykket setter vi bare lik én:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

og vi leter etter løsningen. Vi multipliserer hele likningen med 60, og da får vi:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Vi får at x = 12. Det betyr at de dreper dragen på 12 sekunder. Det er ikke dårlig.

Vi kan kontrollere det ved å sette inn konkrete tall. Vi hadde en drage med 180 livspoeng, og resultatet sier at de dreper den sammen på 12 sekunder. Paladinen tar 6 livspoeng per sekund fra denne dragen, Barbaren 9. Det betyr at Paladinen til sammen tar 12 · 6 = 72 livspoeng på 12 sekunder, og Barbaren 12 · 9 = 108 livspoeng. Til sammen tok de 72 + 108 = 180 livspoeng, og det stemmer med at de tok alle livspoengene.

Gå gjennom flere løste eksempler på felles arbeid:

Eksempler

• Per har veldig lyst på en ny mobil. Han ble enig med mammaen sin, som sa at hun skulle gi ham lommepenger hver uke, og at han etter 60 uker ville ha akkurat nok penger til den etterlengtede mobilen. Men Per er ikke født i går, så han gikk også til pappaen sin. Han lovet også penger og sa at han ville ha råd til en ny mobil allerede etter 30 uker. Hvor lang tid tar det egentlig før Per har en ny mobil, når han får ukentlige lommepenger både fra mamma og pappa?

Fra mammaen får Per hver uke 1/60 av prisen på mobilen, fra pappaen 1/30 av prisen på mobilen. Likningen setter vi opp helt likt som i det forrige tilfellet:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Uttrykket x · 1/60 + x · 1/30 forteller oss hvor stor del av prisen på mobilen Per har spart etter x uker. Siden vi spør når han har akkurat nok til mobilen, setter vi dette uttrykket lik én. Hvis han ville kjøpt tre mobiler, ville det stått tallet tre på høyre side.

Vi løser likningen. Først multipliserer vi den med 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Resultatet er at Per har en ny mobil om 20 uker. Vi kan igjen kontrollere det ved å sette inn virkelige verdier: Hvis mobilen kostet 9000 kroner, ville han fra mammaen få hver uke 1/60 av denne prisen, altså 150 kroner. Fra pappaen ville han få 1/30 av denne prisen, som er 300 kroner. Han har ganske sjenerøse foreldre. På 20 uker ville han fått 20 · 150 = 3000 kroner fra mammaen, mens han fra pappaen ville fått 20 · 300 = 6000 kroner. Til sammen ville han fått 3000 + 6000 = 9000 kroner.

• Det går tre rør til et basseng. Det ene fyller bassenget på 100 minutter, det andre på 75 minutter og det siste på 50 minutter. Hvor lang tid tar det å fylle bassenget når alle tre rørene brukes?

Dette eksempelet er igjen likt som de forrige, bare at vi har tre aktører i det felles arbeidet i stedet for to. Likningen ser da slik ut:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Vi multipliserer likningen med 150 og fortsetter omformingen:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Vi får ikke noe penere resultat enn dette, bassenget fylles på 300/13 minutter, som er omtrent 23 minutter.

• Firmaet Klipp og Klapp slår en eng på ti timer. Firmaet Blomsterdynamitt slår engen på seks timer. Hvor mange timer ville disse firmaene brukt på å slå to slike enger hvis de jobbet sammen?

Hvor mye slår begge firmaene på x timer? Det er et velkjent uttrykk:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Men siden vi vil at de skal slå to enger, blir det ikke 1 på høyre side av likningen, men 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Videre går utregningen likt. Vi multipliserer hele likningen med 30 og omformer:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

De ville slått begge engene på sju og en halv time.

• En kvinne føder et barn på ni måneder. På hvor mange måneder føder ni kvinner ett barn?