分数式

分数式とは、分子と分母に多項式がある分数のことです。分数式は、ふつう、もっと短くすっきりした式に変形して簡単にします。

基本

もう一度まとめると、分数式は次の形をしています。

$\frac{多項式}{多項式}$

たとえば、次の式は分数式です。

$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

この式を簡単にしてみましょう。簡単にするときは、多項式を整理するときと同じ方法を使います。たとえばくくり出しやいろいろな公式です。次の節では、よく使う変形をまとめます。

分数式は、分母に変数を含んでいなければなりません。たとえば、次の式は分数式とはいいません。

$\frac{2 x + 3}{2}$

分数式では、ふつう、その式が意味をもつための条件も求めます。分数式では分母が0になってはいけないからです。ご存じのように、0で割ることはできません。

変形の方法

式の変形にはさまざまな方法がありますが、よく使うものをまとめておきます。まず、分数の約分です。分子と分母がどちらもかけ算だけでできているときは、約分できます。

$\frac{2 a}{5 a} = \frac{2}{5}$

ここでは変数 a で約分しました。ところが、分数が次のような形だと、

$\frac{2 a + 10}{5 a} \neq \frac{2 + 10}{5},$

約分はできません。分子が和の形なので、約分は許されないのです。ただ、分子や分母が和の形でも、何かをくくり出すと約分できるようになることがよくあります。たとえば、次の分数

$\frac{5 a + 6 a b}{2 a}$

では分子が和の形ですが、a をくくり出せば約分できます。

$\frac{5 a + 6 a b}{2 a} = \frac{a (5 + 6 b)}{2 a} = \frac{5 + 6 b}{2} .$

公式を使って因数分解するのも、よく使う変形です。上で次の分数式を挙げました。

$\frac{x^{2} - 1}{x + 1} .$

分子に次の公式を使うと、

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b),$

新しい分数式が得られます。

$\frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1)}$

ここで、かっこ (x + 1) 全体で約分できます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1)} = \frac{x - 1}{1} = x - 1.$

そのほかにも、もちろん多項式の足し算やかけ算、累乗の計算、分数の足し算などを使います。

例題1

問題は次の式です。

$\frac{6 a + 12 b}{2 a + 4 b}$

分子からも分母からも2をくくり出せるので、2で約分できます。

$\frac{6 a + 12 b}{2 a + 4 b} = \frac{2 (3 a + 6 b)}{2 (a + 2 b)} = \frac{3 a + 6 b}{a + 2 b}$

分子からはさらに3をくくり出せます。

$\frac{3 a + 6 b}{a + 2 b} = \frac{3 (a + 2 b)}{a + 2 b}$

式 a + 2b 全体で約分すると、3だけが残ります。

$\frac{3 (a + 2 b)}{a + 2 b} = \frac{3}{1} = 3$

この分数式の条件は次のとおりです。

$a + 2 b \neq 0$

例題2

問題は次の式です。

$(\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 x}$

最初に、かっこの中の分数を引き算します。

$\frac{(x + 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 x}$

次に、分母のかっこを展開します。公式 a² − b² が使えることに気づいた人もいるでしょう。

$\frac{(x + 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 2)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 x}$

1つ目の分数の分母と2つ目の分数の分子が同じ式で、しかもこの2つの分数はかけ合わせているので、この式で約分できます。

$\frac{(x + 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 2)}{1} \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{(x + 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 2)}{2 x}$

あとは少し地道な計算です。分子のかっこを展開して足し合わせ、最後に約分します。

$\frac{x^{2} - 2 x + x - 2 - (x^{2} + 2 x - x - 2)}{2 x} = \frac{x^{2} - 2 x + x - 2 - x^{2} - 2 x + x + 2}{2 x} =$

$= \frac{- 2 x}{2 x} = \frac{- 1}{1} = - 1$

条件は問題の式から求めます。問題には分数が全部で3つあり、どの分母も0になってはいけません。

$\begin{array}{rcl} x & \neq & 2 \\ x & \neq & - 2 \\ x & \neq & 0 \end{array}$

例題3

次の分数式を考えます。

$(\frac{a + b}{a b} - \frac{a - b}{a b} + 2) \cdot (\frac{a}{a + 1} - \frac{a}{b + 1})$

まずは、またかっこの中を地道に足したり引いたりします。1つ目の引き算は、2つの分数の分母が同じなので簡単です。

$(\frac{(a + b) - (a - b)}{a b} + 2) \cdot (\frac{a (b + 1) - (a + 1) a}{(a + 1) (b + 1)})$

分子の式を展開して整理します。

$(\frac{2 b}{a b} + 2) \cdot (\frac{a b + a - a^{2} - a}{(a + 1) (b + 1)})$

1つ目の分数を変数 b で約分し、2を1つ目の分数に足せるように、分母と分子に a をかけた形にします。

$(\frac{2}{a} + \frac{2 a}{a}) \cdot \frac{a b - a^{2}}{(a + 1) (b + 1)}$

1つ目のかっこの分数を足し、2つ目の分数では分子から a をくくり出します。

$\frac{2 + 2 a}{a} \cdot \frac{a (b - a)}{(a + 1) (b + 1)}$

これで a で約分できます。

$\frac{2 + 2 a}{a} \cdot \frac{a (b - a)}{(a + 1) (b + 1)} = (2 + 2 a) \frac{b - a}{(a + 1) (b + 1)}$

あとは左の式と分数をかけるだけです。

$\frac{(2 + 2 a) (b - a)}{(a + 1) (b + 1)}$

1つ目のかっこから2をくくり出します。

$\frac{2 (1 + a) (b - a)}{(a + 1) (b + 1)}$

ここで (1 + a) で約分できます（分母にも、順序が逆の a + 1 という同じ式があります）。

$\frac{2 (b - a)}{b + 1}$

これで分数式は最後まで簡単になり、これ以上は変形できません。条件は次のとおりです。

$\begin{array}{rcl} a b & \neq & 0 \to a, b \neq 0 \\ a & \neq & - 1 \\ b & \neq & - 1 \end{array}$

多項式の割り算

分数式は、多項式の割り算の手順を使って計算することもできます。ふつうの変形の方法が使えないときに便利なことがあります。

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