Ortak İş Problemleri

Ortak iş problemlerinde genellikle aynı işi farklı sürelerde yapan iki kişi (ya da varlık) bulunur. Amaç, bu ikisi birlikte çalıştığında işin ne kadar süreceğini bulmaktır.

Örnek Problem

Bir oyun oynadığını ve bu oyunda bir ejderhayla savaştığını düşün. Paladin kılıcıyla ejderhayı 30 saniyede doğruyor, Barbar ise tokmağıyla onu 20 saniyede ezip geçiyor. Soru şu: Barbar ile Paladin ejderhaya birlikte saldırırsa onu ne kadar sürede öldürürler? Ne kadar “ortak iş” yapmaları gerekir?

Problemi çözmek için önce bu korkusuz savaşçıların her birinin ejderhaya bir saniyede ne kadar zarar verdiğini buluruz. Paladin ejderhayı 30 saniyede öldürdüğüne göre, bir saniyede ejderhanın canının 1/30’unu, yani otuzda birini alır. Ejderhanın 180 canı olsaydı, Paladin’in onu otuz saniyede öldürmesi için her saniye 180 / 30 = 6 can götürmesi gerekirdi (bu, canının otuzda biridir). Bu arada 180 / 30 ile 180 · (1/30) aynı şeydir.

Barbar ejderhayı 20 saniyede öldürüyor; yani her saniye canının 1/20’sini götürüyor. Aynı ejderhanın 180 canı olsaydı, Barbar ona her saniye 180 / 20 = 9 can kaybettirirdi.

Yani Paladin bir saniyede ejderhanın canının 1/30’unu, Barbar ise 1/20’sini götürüyor. Şimdi şunu soruyoruz: Bu iki kahramanın güçlerini birleştirip onu öldürmesi için kaç saniye gerekir? Bunu adım adım inceleyebiliriz: İki saniyede ejderhanın canının ne kadarını götürürler?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Bu, canının altıda biri olurdu. 1/30 + 1/20’yi topladık, çünkü savaşçılar birlikte savaşıyor; bunu toplam iki kez topladık, çünkü iki saniye savaşıyorlar. Bunu genelleyebiliriz: x saniye savaşırlarsa ejderhadan şu kadar can götürürler:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

Artık yapılacak tek şey kaldı: Ejderha, tüm canı gidince ölür. Tüm canı 1 sayısı temsil eder, çünkü 1/30 kesri ejderhanın canının otuzda birini gösteriyor; yani 1 sayısı ejderhanın toplam canıdır. Bu yüzden yukarıdaki ifadeyi bire eşitleriz:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

ve çözümünü ararız. Denklemin her iki tarafını 60 ile çarparsak şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

x = 12 buluyoruz. Yani ejderhayı 12 saniyede öldürürler. Fena değil.

Bunu somut sayılarla yerine koyarak doğrulayabiliriz. 180 canı olan bir ejderhamız vardı ve sonuç, birlikte onu 12 saniyede öldürdüklerini söylüyor. Paladin bu ejderhadan saniyede 6 can götürüyor, Barbar 9. Yani Paladin 12 saniyede toplam 12 · 6 = 72 can, Barbar ise 12 · 9 = 108 can götürür. Toplamda 72 + 108 = 180 can götürmüşlerdir; bu, ejderhanın tüm canının gitmesiyle uyuşuyor.

Ortak işle ilgili diğer çözümlü örneklere de göz at:

Örnekler

• Ali yeni bir cep telefonu almayı çok istiyor. Annesiyle anlaştı; annesi ona her hafta harçlık verecek ve 60 hafta sonra tam istediği telefona yetecek kadar parası olacak. Ama Ali de dünkü çocuk değil, bu yüzden babasına da gitti. Babası da ona para vermeyi kabul etti ve yeni telefona yetecek parasının sadece 30 hafta sonra olacağını söyledi. Ali hem annesinden hem babasından haftalık harçlık alırsa, gerçekte yeni telefonu ne kadar sürede alabilir?

Ali annesinden her hafta telefon fiyatının 1/60’ını, babasından ise telefon fiyatının 1/30’unu alır. Denklemi önceki durumla aynı şekilde kurarız:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

x · 1/60 + x · 1/30 ifadesi, Ali’nin x hafta sonra telefon fiyatının ne kadarını biriktirmiş olacağını gösterir. Telefona tam yetecek parayı ne zaman biriktireceğini sorduğumuz için bu ifadeyi bire eşitleriz. Üç telefon almak isteseydi sağ tarafta üç olurdu.

Denklemi çözelim. Önce her iki tarafı 60 ile çarparız:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Sonuç olarak Ali yeni telefonu 20 haftada alır. Bunu yine gerçek değerler koyarak doğrulayabiliriz: Telefon 9.000 TL olsaydı, annesinden her hafta bu fiyatın 1/60’ını, yani 150 TL alırdı. Babasından bu fiyatın 1/30’unu, yani 300 TL alırdı. Annesiyle babası epey cömertmiş. 20 haftada annesinden 20 · 150 = 3000 TL, babasından ise 20 · 300 = 6000 TL alırdı. Toplamda 3000 + 6000 = 9000 TL almış olurdu.

• Bir havuza toplam üç boru bağlı. Biri havuzu 100 dakikada, diğeri 75 dakikada, sonuncusu 50 dakikada dolduruyor. Üç borudan birden su akarsa havuz ne kadar sürede dolar?

Bu örnek de öncekilerle aynı; yalnızca iki yerine üç iş gören var. Denklem şöyle olur:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Denklemi 150 ile çarpıp işlemlere devam ederiz:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Bundan daha güzel bir sonuç çıkmaz; havuz 300/13 dakikada, yani yaklaşık 23 dakikada dolar.

• Biç Biç Çim Şirketi bir çayırı on saatte biçiyor. Dinamitle Menekşe Toplama Şirketi aynı çayırı altı saatte biçiyor. Bu iki şirket birlikte çalışırsa böyle iki çayırı kaç saatte biçer?

İki şirket x saatte ne kadarını biçer? Bu artık klasik bir ifadedir:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Ama iki çayır biçilmesini istediğimiz için denklemin sağ tarafında 1 değil, 2 olacak:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Bundan sonra hesap aynı şekilde ilerler. Denklemin her iki tarafını 30 ile çarpıp düzenleriz:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

İki çayırı yedi buçuk saatte biçerler.

• Bir kadın bir bebeği dokuz ayda dünyaya getirir. Dokuz kadın bir bebeği kaç ayda dünyaya getirir?