多項式

多項式とは、変数 x と、足し算、かけ算、0以上の整数を指数とする累乗だけからできている式のことです。多項式どうしは、足したり、引いたり、かけたり、割ったり、累乗したりできます。高校では多項式を「整式」ともいいます。

基本的な関係

簡単な多項式の例として、次の式が挙げられます。

$2 x^{2} + 5 x - 12$

一般には、多項式は次のように書けます。

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

ここで、x の前にある実数 a_n などを「係数」、n を多項式の「次数」といいます。n は、a_n ≠ 0 となる x の累乗のうち、いちばん大きい指数です。もし a_n が0だと、どんな数に0をかけても0なので、その係数がついている x の項は事実上消えてしまいます。

$0 \cdot x^{3} = 0.$

したがって、最初の多項式の次数は2です。0でない係数をもつ x の累乗のうち、いちばん大きい指数が2だからです。別の多項式

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

なら、次数は4です（いちばん大きい指数が4）。ふつう多項式は、指数の大きい順に項を並べて書きます。いちばん高い次数の項が先頭にくるようにするためです。これを「降べきの順」といいます。前の多項式は次のように書き直せます。

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

この多項式には、x の指数が3の項と0の項がありません。これはまったくかまいません。それらの項の係数が0だと考えればよいのです。実際、次のように書けます。

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

これですべての項がそろいましたが、式が無駄に見にくくなっています。そのため、係数が0の項はふつう省きます。

多項式の足し算と引き算

多項式の足し算と引き算は、それほど難しくありません。指数が同じ項（同類項）どうしで、係数を足したり引いたりするだけです。つまり、次の式が成り立ちます。

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

簡単な例です。

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

もっと長い多項式を足すときも、いつも x の指数が同じ項どうしをまとめます。

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

ある指数の項が一方の多項式にしかないときは、その項はそのまま残ります（もう一方の多項式にも、係数0のその項があると考えましょう）。

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

多項式の引き算も足し算と同じです。ただし、2つ目の多項式にマイナス1をかけます。つまり、すべての符号を逆にします。例を見てみましょう。

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

これはもうふつうの多項式の足し算なので、いつものように計算できます。

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

多項式に負の項があるときは、この変形で正の項に変わることに注意しましょう。

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

多項式のかけ算

多項式どうしをかけるときは、1つ目の多項式のすべての項に、2つ目の多項式のすべての項をかけます。係数はふつうの実数と同じようにかけます。一方、変数の指数は、累乗の計算のきまりにしたがって足すだけです。例を見てみましょう。

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

この例では一方の式の項が1つだけなので、すべての項どうしをかけるようすはまだよくわかりません。もう少し大きな例を見てみましょう。

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

多項式にマイナスの符号があるときは、それもそのままかけ算に反映されます。

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

多項式の整理

多項式を整理するときは、ふつう式をより簡単な形にすることを目指します。そのために、分母と分子に同じ式をかけたり、約分したり、くくり出したり、公式を使ったりします。こうした公式（乗法公式）は覚えておくと便利です。ここでは、そのうちのいくつかを使います。よく使われる代表的な公式は次の式です。

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

この公式がどうして成り立つのか知りたければ、かっこをはずして展開してみればわかります。

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

まず、簡単な例から始めましょう。

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

左の2つのかっこは、上の公式を使って展開しました。2つ目のかっこは、次のように展開しています。

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

もう1つの代表的な公式は次の式です。

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

2つ目の例は分数です。分子にも分母にも多項式があるので、分数全体がうまく約分できるように変形します。最初に、分子には1つ目の公式を逆向きに使います。分母には2つ目の公式を使います。最後に (a + b) で約分します。

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

3つ目の例では、くくり出しを使ってみます。分子では、まず 3a³ をくくり出し、次にかっこ (4a² − 1) を公式 a² − b² で因数分解します。このとき、次のことを使います。

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

分母では、まず最初の2つの項をかけ、同じく 3a³ をくくり出します。最後に全体を約分します。

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

章: 多項式, 多項式の割り算, 多項式の根, 多項式の因数分解

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