Opgaver om fælles arbejde

Opgaver om fælles arbejde handler som regel om to forskellige figurer, som udfører det samme arbejde på forskellig tid. Opgaven er at finde ud af, hvor lang tid de skal bruge på det givne arbejde, hvis de arbejder sammen.

Eksempelopgave

Forestil dig, at du spiller et spil, hvor du kæmper mod en drage. En paladin hakker dragen i stykker med sit sværd på 30 sekunder, mens en barbar smadrer den med sin kølle på blot 20 sekunder. Spørgsmålet er, hvor lang tid der går, før de har dræbt dragen, hvis barbaren og paladinen kæmper mod dragen sammen? Hvor meget »fælles arbejde« skal de lægge i det?

Opgaven løser vi ved først at finde ud af, hvor meget hver af de uforfærdede krigere skader dragen på ét sekund. Fordi paladinen dræber dragen på 30 sekunder, tager han på ét sekund 1/30 af dragens liv, en tredivtedel af dens liv. Hvis dragen havde 180 liv, skal paladinen, for at dræbe den på tredive sekunder, hvert sekund tage 180 / 30 = 6 liv fra den (det er en tredivtedel af dens liv). Og 180 / 30 er det samme som 180 · (1/30).

Barbaren dræber den på 20 sekunder, så han tager hvert sekund 1/20 af dens liv fra dragen. Fra den samme drage, som havde 180 liv, ville han hvert sekund tage 180 / 20 = 9 liv.

Så paladinen tager på et sekund 1/30 af dragens liv, barbaren 1/20. Nu spørger vi, hvor mange sekunder der skal til, før disse herrer har dræbt den i fællesskab? Vi kan se på det trin for trin — hvor mange liv ville de tage fra dragen på to sekunder?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Det ville være en sjettedel af dens liv. Vi lægger 1/30 + 1/20 sammen, fordi krigerne kæmper sammen, og vi lægger det sammen i alt to gange, fordi de kæmper to sekunder. Vi kan se, at vi kan generalisere det, så når de kæmper x sekunder, tager de fra dragen

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

liv. Nu mangler der kun én ting — dragen dør, når de har taget alle dens liv. Alle livene repræsenteres af tallet 1, for brøken 1/30 repræsenterer en tredivtedel af dragens liv — tallet 1 er altså dragens samlede antal liv. Det foregående udtryk sætter vi derfor bare lig med en:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

og leder efter løsningen. Vi ganger hele ligningen med 60, og dermed får vi:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Det giver x = 12. Det betyder, at de dræber dragen på 12 sekunder. Det er ikke dårligt.

Vi kan prøve at kontrollere det ved at indsætte konkrete tal. Vi havde her en drage med 180 liv, og resultatet siger, at sammen dræber de den på 12 sekunder. Paladinen tager 6 liv i sekundet fra denne drage, barbaren 9. Det betyder, at paladinen på 12 sekunder i alt tager 12 · 6 = 72 liv fra dragen og barbaren 12 · 9 = 108 liv. I alt har de taget 72 + 108 = 180 liv fra den, hvilket stemmer med, at de har taget alle dens liv.

Gennemgå de næste løste eksempler på fælles arbejde:

Eksempler

• Oscar ville rigtig gerne købe en ny mobil. Han aftalte med sin mor, som sagde til ham, at hun hver uge ville give ham lommepenge, og at han efter 60 uger lige præcis ville have penge nok til den eftertragtede mobil. Men Oscar er ikke født i går, og derfor gik han også til sin far. Faren lovede ham også penge og sagde til ham, at han endda allerede efter 30 uger ville have råd til en ny mobil. Hvor lang tid går der i virkeligheden, før Oscar har en ny mobil, når han får ugentlige lommepenge både fra sin mor og fra sin far?

Fra sin mor får Oscar hver uge 1/60 af mobilens pris, fra sin far så 1/30 af mobilens pris. Ligningen opstiller vi helt på samme måde som i det foregående tilfælde:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Udtrykket x · 1/60 + x · 1/30 fortæller os, hvor stor en del af mobilens pris Oscar vil have sparet op efter x uger. Fordi vi spørger, hvornår han lige præcis har nok til den mobil, sætter vi dette udtryk lig med en. Hvis han ville købe tre mobiler, ville der stå tallet tre på højre side.

Vi løser ligningen. Først ganger vi den med 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Resultatet er, at Oscar har en ny mobil om 20 uger. Det kan vi igen kontrollere ved at indsætte virkelige værdier: Hvis mobilen kostede 6000 kr., ville han fra sin mor hver uge få 1/60 af denne pris, dvs. 100 kr. Fra sin far ville han få 1/30 af denne pris, hvilket er 200 kr. Nå, han har ret gavmilde forældre. På 20 uger ville han fra sin mor få 20 · 100 = 2000 kr., mens han fra sin far ville få 20 · 200 = 4000 kr. I alt ville han få 2000 + 4000 = 6000 kr.

• Der fører i alt tre rør ind i en swimmingpool. Det ene fylder poolen på 100 minutter, det næste på 75 minutter og det sidste på 50 minutter. Hvor lang tid tager det at fylde poolen, når den fyldes fra alle tre rør?

Dette eksempel er igen det samme som i de foregående tilfælde, bare har vi i stedet for to aktører i det fælles arbejde tre aktører. Ligningen kommer således til at se sådan ud:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Ligningen ganger vi med 150 og fortsætter med omformningerne:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Et pænere resultat får vi ikke ud af det, poolen er fyldt på 300/13 minutter, hvilket er cirka 23 minutter.

• Firmaet Slå og Klip slår engen på ti timer. Firmaet Plukker Viol med Dynamit slår engen på seks timer. Hvor mange timer ville disse firmaer være om at slå to sådanne enge, hvis de arbejdede sammen?

Hvor meget slår begge firmaer på x timer? Det er allerede et klassisk udtryk:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Men fordi vi vil have, at de slår to enge, bliver der ikke 1 på højre side af ligningen, men der kommer til at stå 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Resten af beregningen forløber på samme måde. Vi ganger hele ligningen med 30 og omformer:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

Begge enge ville de slå på syv og en halv time.

• En kvinde føder et barn på ni måneder. Hvor mange måneder tager det ni kvinder at føde et barn?