Yhteistyötehtävät

Yhteistyötehtävissä on yleensä kaksi eri hahmoa, jotka tekevät samaa työtä eri ajassa. Tehtävänä on selvittää, kuinka kauan he tekevät kyseisen työn, jos he työskentelevät yhdessä.

Esimerkkitehtävä

Kuvittele, että pelaat peliä, jossa taistelet lohikäärmettä vastaan. Paladiini pilkkoo lohikäärmeen miekallaan 30 sekunnissa, kun taas barbaari murskaa sen nuijallaan jopa 20 sekunnissa. Kysymys kuuluu, kuinka nopeasti he tappaisivat lohikäärmeen, jos barbaari ja paladiini taistelisivat sitä vastaan yhdessä? Kuinka paljon ”yhteistä työtä” tarvitaan?

Ratkaisemme tehtävän selvittämällä ensin, kuinka paljon kukin pelottomista sotureista vahingoittaa lohikäärmettä yhdessä sekunnissa. Koska paladiini tappaa lohikäärmeen 30 sekunnissa, hän vie lohikäärmeeltä sekunnissa 1/30 elämäpisteistä, yhden kolmekymmenesosan. Jos lohikäärmeellä olisi 180 elämäpistettä, paladiinin pitäisi viedä siltä joka sekunti 180 / 30 = 6 elämäpistettä, jotta se kuolisi kolmessakymmenessä sekunnissa (se on yksi kolmekymmenesosa sen elämäpisteistä). Ja 180 / 30 on sama kuin 180 · (1/30).

Barbaari tappaa sen 20 sekunnissa, joten hän vie lohikäärmeeltä joka sekunti 1/20 sen elämäpisteistä. Samalta lohikäärmeeltä, jolla olisi 180 elämäpistettä, hän veisi siis sekunnissa 180 / 20 = 9 elämäpistettä.

Paladiini vie lohikäärmeeltä sekunnissa 1/30 sen elämäpisteistä, barbaari 1/20. Nyt kysymme, kuinka monta sekuntia tarvitaan, jotta nämä herrat tappavat sen yhteisvoimin? Voimme tarkastella asiaa vaiheittain — kuinka suuren osan elämäpisteistä he veisivät lohikäärmeeltä kahdessa sekunnissa?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Se olisi yksi kuudesosa sen elämäpisteistä. Laskemme yhteen 1/30 + 1/20, koska soturit taistelevat yhdessä, ja laskemme sen yhteensä kahdesti, koska he taistelevat kaksi sekuntia. Näemme, että sen voi yleistää niin, että kun he taistelevat x sekuntia, he vievät lohikäärmeeltä

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

elämäpistettä. Nyt jäljellä on enää yksi asia — lohikäärme kuolee, kun siltä viedään kaikki elämäpisteet. Kaikkia elämäpisteitä esittää luku 1, koska murtoluku 1/30 esittää lohikäärmeen elämäpisteiden kolmekymmenesosaa — luku 1 on siis lohikäärmeen elämäpisteiden kokonaismäärä. Asetetaan edellinen lauseke yhtä suureksi kuin yksi:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

ja etsitään ratkaisua. Kerrotaan koko yhtälö luvulla 60, jolloin saadaan:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Saamme x = 12. Se tarkoittaa, että he tappavat lohikäärmeen 12 sekunnissa. Ei hullumpaa.

Voimme yrittää tarkistaa sen sijoittamalla konkreettisia lukuja. Meillä oli lohikäärme, jolla on 180 elämäpistettä, ja tulos sanoo, että yhdessä he tappavat sen 12 sekunnissa. Paladiini vie tältä lohikäärmeeltä 6 elämäpistettä sekunnissa, barbaari 9. Se tarkoittaa, että paladiini vie lohikäärmeeltä 12 sekunnissa yhteensä 12 · 6 = 72 elämäpistettä ja barbaari 12 · 9 = 108 elämäpistettä. Yhteensä he veivät siltä 72 + 108 = 180 elämäpistettä, mikä sopii siihen, että he veivät siltä kaikki elämäpisteet.

Käy läpi vielä muita ratkaistuja yhteistyötehtäviä:

Esimerkkejä

• Elias haluaisi kovasti ostaa uuden kännykän. Hän sopi äitinsä kanssa, että tämä antaa hänelle joka viikko viikkorahaa ja 60 viikon jälkeen hänellä on juuri sopivasti rahaa kaipaamaansa kännykkään. Mutta Elias ei ole eilisen teeren poikia, joten hän meni myös isänsä luo. Isäkin lupasi hänelle rahaa ja sanoi, että uuteen kännykkään hänellä on rahaa jo 30 viikon jälkeen. Kuinka kauan todellisuudessa kestää, ennen kuin Eliaksella on uusi kännykkä, kun hän saa viikkorahaa sekä äidiltä että isältä?

Äidiltä Elias saa joka viikko 1/60 kännykän hinnasta, isältä 1/30 kännykän hinnasta. Yhtälö muodostetaan aivan samoin kuin edellisessä tapauksessa:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Lauseke x · 1/60 + x · 1/30 kertoo, kuinka suuren osan kännykän hinnasta Elias on säästänyt x viikon jälkeen. Koska kysymme, milloin hänellä on juuri sopivasti rahaa kännykkään, asetamme tämän lausekkeen yhtä suureksi kuin yksi. Jos hän haluaisi ostaa kolme kännykkää, yhtälön oikealla puolella olisi luku kolme.

Ratkaistaan yhtälö. Kerrotaan se ensin luvulla 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Tuloksena on, että Eliaksella on uusi kännykkä 20 viikon kuluttua. Voimme taas tarkistaa sen sijoittamalla todellisia arvoja: jos kännykkä maksaisi 600 euroa, hän saisi äidiltä joka viikko 1/60 tästä hinnasta eli 10 euroa. Isältä hän saisi 1/30 tästä hinnasta eli 20 euroa. No, hänellä on aika anteliaat vanhemmat. 20 viikossa hän saisi äidiltä 20 · 10 = 200 euroa, kun taas isältä hän saisi 20 · 20 = 400 euroa. Yhteensä hän saisi 200 + 400 = 600 euroa.

• Uima-altaaseen johtaa yhteensä kolme putkea. Yksi täyttää altaan 100 minuutissa, toinen 75 minuutissa ja viimeinen 50 minuutissa. Kuinka nopeasti allas täyttyy, kun sitä täytetään kaikista kolmesta putkesta?

Tämä esimerkki on taas samanlainen kuin edelliset, vain kahden yhteistyöntekijän sijasta meillä on kolme. Yhtälö näyttää siis tältä:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Kerrotaan yhtälö luvulla 150 ja jatketaan muunnoksia:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Kauniimpaa tulosta emme tästä saa, allas täyttyy 300/13 minuutissa, mikä on noin 23 minuuttia.

• Yritys Leikkaan ja Niitän niittää niityn kymmenessä tunnissa. Yritys Revin kukat dynamiitilla niittää niityn kuudessa tunnissa. Kuinka monessa tunnissa nämä yritykset niittäisivät kaksi tällaista niittyä, jos ne työskentelisivät yhdessä?

Kuinka paljon molemmat yritykset niittävät x tunnissa? Se on jo tavallinen lauseke:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Koska haluamme kuitenkin niiden niittävän kaksi niittyä, yhtälön oikealla puolella ei ole 1 vaan 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Laskeminen etenee sen jälkeen samoin. Kerrotaan koko yhtälö luvulla 30 ja muokataan:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

Molemmat niityt ne niittäisivät seitsemässä ja puolessa tunnissa.

• Yksi nainen synnyttää lapsen yhdeksässä kuukaudessa. Kuinka monessa kuukaudessa yhdeksän naista synnyttää lapsen?