Problemas de trabalho em conjunto
Os problemas de trabalho em conjunto costumam envolver dois personagens que fazem o mesmo trabalho em tempos diferentes. A tarefa é descobrir quanto tempo vão levar para fazer o trabalho se trabalharem juntos.
Problema de exemplo
Imagine que você está jogando um jogo em que luta contra um dragão. O Paladino derrota o dragão com a espada em 30 segundos, enquanto o Bárbaro o esmaga com a clava em apenas 20 segundos. A pergunta é: em quanto tempo eles derrotariam o dragão se o Bárbaro e o Paladino lutassem juntos contra ele? Quanto “trabalho em conjunto” eles precisam fazer?
Resolvemos o problema descobrindo primeiro quanto dano cada um desses guerreiros corajosos causa ao dragão em um segundo. Como o Paladino derrota o dragão em 30 segundos, em um segundo ele tira do dragão 1/30 dos pontos de vida, um trinta avos dos pontos de vida. Se o dragão tivesse 180 pontos de vida, para o Paladino derrotá-lo em trinta segundos, ele precisa tirar a cada segundo 180 / 30 = 6 pontos de vida (que é um trinta avos do total). E 180 / 30 é o mesmo que 180 · (1/30).
O Bárbaro o derrota em 20 segundos, então tira do dragão a cada segundo 1/20 dos pontos de vida. Do mesmo dragão, que teria 180 pontos de vida, ele tiraria a cada segundo 180 / 20 = 9 pontos de vida.
Assim, o Paladino tira do dragão por segundo 1/30 dos pontos de vida, e o Bárbaro 1/20. Agora perguntamos: quantos segundos são necessários para que esses senhores o derrotem juntando as forças? Podemos olhar para isso passo a passo: quantos pontos de vida eles tirariam do dragão em dois segundos?
Seria um sexto dos pontos de vida. Somamos 1/30 + 1/20, porque os guerreiros lutam juntos, e somamos isso ao todo duas vezes, porque lutam por dois segundos. Vemos que podemos generalizar: quando lutam por x segundos, eles tiram do dragão
dos pontos de vida. Agora só falta uma coisa: o dragão morre quando lhe tiram todos os pontos de vida. Todos os pontos de vida são representados pelo número 1, porque a fração 1/30 representa um trinta avos dos pontos de vida do dragão, e o número 1 é, portanto, o total de pontos de vida do dragão. A expressão anterior, então, apenas igualamos a um:
e procuramos a solução. Multiplicamos a equação inteira por 60, e com isso obtemos:
Obtemos x = 12. Isso significa que eles derrotam o dragão em 12 segundos. Nada mal.
Podemos tentar verificar isso substituindo números concretos. Tínhamos aqui um dragão com 180 pontos de vida, e o resultado diz que juntos eles o derrotam em 12 segundos. O Paladino tira desse dragão 6 pontos de vida por segundo, o Bárbaro, 9. Isso significa que o Paladino tira do dragão ao todo em 12 segundos 12 · 6 = 72 pontos de vida e o Bárbaro 12 · 9 = 108 pontos de vida. Ao todo eles tiraram 72 + 108 = 180 pontos de vida, o que combina com o fato de terem tirado todos os pontos de vida.
Confira outros exemplos resolvidos de trabalho em conjunto:
Exemplos
- O Joãozinho queria muito comprar um celular novo. Ele combinou com a mãe, que lhe disse que daria a ele uma mesada toda semana e que, depois de 60 semanas, ele teria exatamente o dinheiro para o celular tão desejado. Só que o Joãozinho não nasceu ontem e foi também falar com o pai. Este também prometeu dinheiro e disse que ele teria o celular novo já depois de 30 semanas. Em quanto tempo, na verdade, o Joãozinho terá o celular novo, se receber a mesada semanal tanto da mãe quanto do pai?
Da mãe o Joãozinho recebe a cada semana 1/60 do preço do celular, do pai, 1/30 do preço do celular. Montamos a equação exatamente como no caso anterior:
A expressão x · 1/60 + x · 1/30 nos diz quanto do preço do celular o Joãozinho terá economizado depois de x semanas. Como perguntamos quando ele terá exatamente o dinheiro para o celular, igualamos essa expressão a um. Se ele quisesse comprar três celulares, no lado direito estaria o número três.
Resolvemos a equação. Primeiro a multiplicamos por 60:
O resultado é que o Joãozinho terá o celular novo em 20 semanas. Podemos verificar isso de novo substituindo valores reais: se o celular custasse R$ 1.800, ele receberia da mãe a cada semana 1/60 desse preço, isto é, R$ 30. Do pai ele receberia 1/30 desse preço, que são R$ 60. Bom, ele tem pais bem generosos. Em 20 semanas ele receberia da mãe 20 · 30 = 600 reais, enquanto do pai receberia 20 · 60 = 1200 reais. Ao todo ele receberia 600 + 1200 = 1800 reais.
- Uma piscina é abastecida por três canos. Um enche a piscina em 100 minutos, o outro em 75 minutos e o último em 50 minutos. Em quanto tempo a piscina fica cheia se usarmos os três canos ao mesmo tempo?
Este exemplo é de novo igual aos anteriores, só que, em vez de dois agentes do trabalho em conjunto, temos três agentes. A equação ficará assim:
Multiplicamos a equação por 150 e continuamos as transformações:
Um resultado mais bonito não vamos obter, a piscina enche em 300/13 minutos, o que é aproximadamente 23 minutos.
- A empresa Corta Rápido corta o gramado de um terreno em dez horas. A empresa Arranca Flor com Dinamite corta o gramado do terreno em seis horas. Em quantas horas essas empresas cortariam dois terrenos como esse, se trabalhassem juntas?
Quanto as duas empresas cortam em x horas? Essa já é uma expressão clássica:
Mas, como queremos que cortem dois terrenos, no lado direito da equação não estará 1, e sim 2:
Depois disso o cálculo transcorre da mesma forma. Multiplicamos a equação inteira por 30 e transformamos:
Os dois terrenos seriam cortados em sete horas e meia.
- Uma mulher dá à luz um bebê em nove meses. Em quantos meses nove mulheres dão à luz um bebê?
