Samenwerkopgaven
Samenwerkopgaven gaan meestal over twee verschillende personages die er verschillend lang over doen om hetzelfde werk te doen. De opdracht is om uit te zoeken hoe lang ze over het werk doen als ze samenwerken.
Een voorbeeldopgave
Stel je voor dat je een spel speelt waarin je tegen een draak vecht. De Paladijn hakt de draak met zijn zwaard in 30 seconden in stukken, terwijl de Barbaar hem met zijn knots zelfs in 20 seconden tot moes slaat. De vraag is hoe snel ze de draak zouden doden als de Barbaar en de Paladijn samen tegen de draak vochten. Hoeveel “gezamenlijk werk” moeten ze verzetten?
We lossen de opgave op door eerst uit te zoeken hoeveel schade de afzonderlijke onverschrokken krijgers de draak per seconde toebrengen. Omdat de Paladijn de draak in 30 seconden doodt, neemt hij de draak per seconde 1/30 van zijn levenspunten af, een dertigste van de levenspunten. Als de draak 180 levenspunten had, dan moet de Paladijn, om hem in dertig seconden te doden, hem elke seconde 180 / 30 = 6 levenspunten afnemen (dat is een dertigste van zijn levenspunten). Daarbij is 180 / 30 hetzelfde als 180 · (1/30).
De Barbaar doodt hem in 20 seconden, dus hij neemt de draak elke seconde 1/20 van zijn levenspunten af. Bij dezelfde draak met 180 levenspunten zou hij hem elke seconde 180 / 20 = 9 levenspunten afnemen.
De Paladijn neemt de draak dus per seconde 1/30 van zijn levenspunten af, de Barbaar 1/20. Nu vragen we hoeveel seconden er nodig zijn om hem met vereende krachten te doden. We kunnen het stap voor stap bekijken — hoeveel levenspunten zouden ze de draak in twee seconden afnemen?
Het zou een zesde van zijn levenspunten zijn. We tellen 1/30 + 1/20 op, omdat de krijgers samen vechten, en we tellen het in totaal twee keer op, omdat ze twee seconden vechten. We zien dat we het kunnen veralgemenen: als ze x seconden vechten, nemen ze de draak
levenspunten af. Nu blijft er nog maar één ding over — de draak sterft als ze al zijn levenspunten hebben afgenomen. Alle levenspunten worden voorgesteld door het getal 1, want de breuk 1/30 stelt een dertigste van de levenspunten van de draak voor — het getal 1 is dus het totale aantal levenspunten van de draak. De vorige uitdrukking stellen we dus gewoon gelijk aan één:
en we zoeken de oplossing. We vermenigvuldigen de hele vergelijking met 60, en dat geeft:
We krijgen x = 12. Dat betekent dat ze de draak in 12 seconden doden. Dat is niet slecht.
We kunnen het controleren door concrete getallen in te vullen. We hadden hier een draak met 180 levenspunten en de uitkomst zegt dat ze hem samen in 12 seconden doden. De Paladijn neemt deze draak 6 levenspunten per seconde af, de Barbaar 9. Dat betekent dat de Paladijn de draak in 12 seconden in totaal 12 · 6 = 72 levenspunten afneemt en de Barbaar 12 · 9 = 108 levenspunten. Samen hebben ze hem 72 + 108 = 180 levenspunten afgenomen, en dat klopt met het feit dat ze hem alle levenspunten hebben afgenomen.
Kijk ook naar de andere uitgewerkte voorbeelden van samenwerkopgaven:
Voorbeelden
- Jantje wil zo graag een nieuwe mobiel kopen. Hij heeft met zijn moeder afgesproken dat ze hem elke week zakgeld geeft en dat hij na 60 weken precies genoeg geld heeft voor de gewenste mobiel. Maar Jantje is niet van gisteren en ging ook naar zijn vader. Die beloofde hem ook geld en zei dat hij zelfs al na 30 weken genoeg voor een nieuwe mobiel zou hebben. Hoe lang duurt het in werkelijkheid voordat Jantje een nieuwe mobiel heeft, als hij wekelijks zakgeld krijgt van zowel zijn moeder als zijn vader?
Van zijn moeder krijgt Jantje elke week 1/60 van de prijs van de mobiel, van zijn vader 1/30 van de prijs van de mobiel. De vergelijking stellen we precies zo op als in het vorige geval:
De uitdrukking x · 1/60 + x · 1/30 geeft aan hoeveel van de prijs van de mobiel Jantje na x weken heeft gespaard. Omdat we vragen wanneer hij precies genoeg heeft voor die mobiel, stellen we deze uitdrukking gelijk aan één. Als hij drie mobiels wilde kopen, zou er aan de rechterkant het getal drie staan.
We lossen de vergelijking op. Eerst vermenigvuldigen we de vergelijking met 60:
De uitkomst is dat Jantje na 20 weken een nieuwe mobiel heeft. We kunnen het weer controleren door reële waarden in te vullen: als de mobiel € 600 zou kosten, zou hij van zijn moeder elke week 1/60 van deze prijs krijgen, dus € 10. Van zijn vader zou hij 1/30 van deze prijs krijgen, en dat is € 20. Hij heeft best gulle ouders. In 20 weken zou hij van zijn moeder 20 · 10 = 200 euro ontvangen, terwijl hij van zijn vader 20 · 20 = 400 euro zou krijgen. In totaal zou hij 200 + 400 = 600 euro krijgen.
- Naar een zwembad lopen in totaal drie leidingen. De ene vult het zwembad in 100 minuten, de tweede in 75 minuten en de derde in 50 minuten. Hoe lang duurt het om het zwembad te vullen als het uit alle drie de leidingen wordt gevuld?
Dit voorbeeld is weer hetzelfde als de vorige gevallen, alleen hebben we in plaats van twee werkers drie werkers. De vergelijking ziet er dus zo uit:
We vermenigvuldigen de vergelijking met 150 en gaan verder met de omvormingen:
Een mooiere uitkomst krijgen we hier niet uit, het zwembad is na 300/13 minuten gevuld, en dat is ongeveer 23 minuten.
- Het bedrijf Gras Weg maait een weide in tien uur. Het bedrijf Viooltjes met Dynamiet maait de weide in zes uur. In hoeveel uur zouden deze bedrijven twee van zulke weides maaien als ze samenwerkten?
Hoeveel maaien beide bedrijven in x uur? Dat is inmiddels een bekende uitdrukking:
Maar omdat we willen dat ze twee weides maaien, staat er aan de rechterkant van de vergelijking niet 1, maar 2:
Verder verloopt de berekening hetzelfde. We vermenigvuldigen de hele vergelijking met 30 en vormen om:
Beide weides zouden ze in zeven en een half uur maaien.
- Een vrouw krijgt in negen maanden een kind. In hoeveel maanden krijgen negen vrouwen een kind?
