Προβλήματα κοινού έργου

Τα προβλήματα κοινού έργου συνήθως περιλαμβάνουν δύο διαφορετικούς ήρωες, που κάνουν την ίδια δουλειά σε διαφορετικό χρόνο. Ζητείται να βρούμε πόσο χρόνο θα χρειαστούν για τη δουλειά αυτή, αν δουλέψουν μαζί.

Υπόδειγμα προβλήματος

Φαντάσου ότι παίζεις ένα παιχνίδι, στο οποίο πολεμάς εναντίον ενός δράκου. Ο Παλαδίνος με το σπαθί του κομματιάζει τον δράκο σε 30 δευτερόλεπτα, ενώ ο Βάρβαρος με το ρόπαλό του τον κάνει λιώμα μάλιστα σε μόλις 20 δευτερόλεπτα. Το ερώτημα είναι σε πόσο χρόνο θα σκότωναν τον δράκο, αν ο Βάρβαρος και ο Παλαδίνος πολεμούσαν εναντίον του μαζί. Πόση «κοινή δουλειά» πρέπει να καταβάλουν;

Το πρόβλημα το λύνουμε βρίσκοντας πρώτα πόση ζημιά κάνει στον δράκο ο καθένας από τους άφοβους πολεμιστές σε ένα δευτερόλεπτο. Επειδή ο Παλαδίνος σκοτώνει τον δράκο σε 30 δευτερόλεπτα, σε ένα δευτερόλεπτο του παίρνει 1/30 της ζωής του, ένα τριακοστό της ζωής. Αν ο δράκος είχε 180 πόντους ζωής, για να τον σκοτώσει ο Παλαδίνος σε τριάντα δευτερόλεπτα, πρέπει κάθε δευτερόλεπτο να του αφαιρεί 180 / 30 = 6 πόντους ζωής (αυτό είναι ένα τριακοστό της ζωής του). Άλλωστε το 180 / 30 είναι το ίδιο με το 180 · (1/30).

Ο Βάρβαρος τον σκοτώνει σε 20 δευτερόλεπτα, άρα αφαιρεί από τον δράκο κάθε δευτερόλεπτο 1/20 της ζωής του. Στον ίδιο δράκο, που θα είχε 180 πόντους ζωής, θα αφαιρούσε έτσι κάθε δευτερόλεπτο 180 / 20 = 9 πόντους ζωής.

Ο Παλαδίνος λοιπόν αφαιρεί από τον δράκο σε ένα δευτερόλεπτο 1/30 της ζωής του, ο Βάρβαρος 1/20. Τώρα ρωτάμε πόσα δευτερόλεπτα χρειάζονται για να τον σκοτώσουν αυτοί οι κύριοι με κοινές δυνάμεις. Μπορούμε να το δούμε σταδιακά – πόση ζωή θα αφαιρούσαν από τον δράκο σε δύο δευτερόλεπτα;

$\frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{20} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$

Θα ήταν το ένα έκτο της ζωής του. Προσθέτουμε 1/30 + 1/20, επειδή οι πολεμιστές πολεμούν μαζί, και το προσθέτουμε συνολικά δύο φορές, επειδή πολεμούν δύο δευτερόλεπτα. Βλέπουμε ότι μπορούμε να το γενικεύσουμε ως εξής: όταν πολεμούν x δευτερόλεπτα, αφαιρούν από τον δράκο

$x \cdot \frac{1}{30} + x \cdot \frac{1}{20}$

της ζωής του. Τώρα απομένει μόνο ένα πράγμα – ο δράκος πεθαίνει όταν του αφαιρέσουν όλη τη ζωή. Όλη η ζωή παριστάνεται με τον αριθμό 1, επειδή το κλάσμα 1/30 παριστάνει το ένα τριακοστό της ζωής του δράκου – ο αριθμός 1 είναι λοιπόν η συνολική ζωή του δράκου. Την προηγούμενη παράσταση λοιπόν τη θέτουμε ίση με ένα:

$x \cdot \frac{1}{30} + x \cdot \frac{1}{20} = 1$

και ψάχνουμε τη λύση. Πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την εξίσωση με το 60, οπότε παίρνουμε:

$\begin{array}{rcl} x \cdot \frac{60}{30} + x \cdot \frac{60}{20} & = & 60 \\ x \cdot \frac{6}{3} + x \cdot \frac{6}{2} & = & 60 \\ 2 x + 3 x & = & 60 \\ 5 x & = & 60 / \cdot \frac{1}{5} \\ x & = & 12 \end{array}$

Βρίσκουμε ότι x = 12. Αυτό σημαίνει ότι θα σκοτώσουν τον δράκο σε 12 δευτερόλεπτα. Δεν είναι άσχημα.

Μπορούμε να το επαληθεύσουμε αντικαθιστώντας συγκεκριμένους αριθμούς. Είχαμε εδώ έναν δράκο με 180 πόντους ζωής και το αποτέλεσμα λέει ότι μαζί τον σκοτώνουν σε 12 δευτερόλεπτα. Ο Παλαδίνος αφαιρεί από αυτόν τον δράκο 6 πόντους ζωής το δευτερόλεπτο, ο Βάρβαρος 9. Αυτό σημαίνει ότι ο Παλαδίνος συνολικά σε 12 δευτερόλεπτα αφαιρεί από τον δράκο 12 · 6 = 72 πόντους ζωής και ο Βάρβαρος 12 · 9 = 108 πόντους ζωής. Συνολικά του αφαίρεσαν 72 + 108 = 180 πόντους ζωής, κάτι που ταιριάζει με το ότι του αφαίρεσαν όλη τη ζωή.

Δες και άλλα λυμένα παραδείγματα για το κοινό έργο:

Παραδείγματα

Ο Αντωνάκης θα ήθελε πολύ να αγοράσει ένα καινούργιο κινητό. Συμφώνησε με τη μαμά του, που του είπε ότι θα του δίνει κάθε εβδομάδα χαρτζιλίκι και ότι μετά από 60 εβδομάδες θα έχει ακριβώς τα χρήματα για το κινητό που ονειρεύεται. Ο Αντωνάκης όμως δεν είναι χθεσινός και πήγε και στον μπαμπά. Κι εκείνος του υποσχέθηκε χρήματα και του είπε ότι τα χρήματα για το καινούργιο κινητό θα τα έχει μάλιστα ήδη σε 30 εβδομάδες. Σε πόσο χρόνο στην πραγματικότητα θα έχει ο Αντωνάκης το καινούργιο κινητό, όταν θα παίρνει εβδομαδιαίο χαρτζιλίκι και από τη μαμά και από τον μπαμπά;

Από τη μαμά ο Αντωνάκης παίρνει κάθε εβδομάδα 1/60 της τιμής του κινητού, από τον μπαμπά 1/30 της τιμής του κινητού. Την εξίσωση τη σχηματίζουμε ακριβώς όπως στην προηγούμενη περίπτωση:

$x \cdot \frac{1}{60} + x \cdot \frac{1}{30} = 1$

Η παράσταση x · 1/60 + x · 1/30 μας δίνει πόσο από την τιμή του κινητού θα έχει αποταμιεύσει ο Αντωνάκης μετά από x εβδομάδες. Επειδή ρωτάμε πότε θα έχει ακριβώς όσα χρειάζονται για το κινητό, θέτουμε την παράσταση αυτή ίση με ένα. Αν ήθελε να αγοράσει τρία κινητά, στο δεύτερο μέλος θα ήταν ο αριθμός τρία.

Λύνουμε την εξίσωση. Πρώτα την πολλαπλασιάζουμε με το 60:

$\begin{array}{rcl} x \cdot \frac{60}{60} + x \cdot \frac{60}{30} & = & 60 \\ x \cdot \frac{1}{1} + x \cdot \frac{2}{1} & = & 60 \\ x + 2 x & = & 60 \\ 3 x & = & 60 / \cdot \frac{1}{3} \\ x & = & 20 \end{array}$

Το αποτέλεσμα είναι ότι ο Αντωνάκης θα έχει το καινούργιο κινητό σε 20 εβδομάδες. Μπορούμε να το επαληθεύσουμε πάλι αντικαθιστώντας πραγματικές τιμές: αν το κινητό κόστιζε 360 €, από τη μαμά θα έπαιρνε κάθε εβδομάδα 1/60 αυτής της τιμής, δηλ. 6 €. Από τον μπαμπά θα έπαιρνε 1/30 αυτής της τιμής, που είναι 12 €. Ε, έχει αρκετά γενναιόδωρους γονείς. Σε 20 εβδομάδες θα έπαιρνε από τη μαμά 20 · 6 = 120 €, ενώ από τον μπαμπά θα έπαιρνε 20 · 12 = 240 €. Συνολικά θα έπαιρνε 120 + 240 = 360 €.

Σε μια πισίνα οδηγούν συνολικά τρεις σωλήνες. Ο ένας γεμίζει την πισίνα σε 100 λεπτά, ο άλλος σε 75 λεπτά και ο τελευταίος σε 50 λεπτά. Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η πισίνα, όταν γεμίζει και από τους τρεις σωλήνες;

Αυτό το παράδειγμα είναι πάλι ίδιο με τις προηγούμενες περιπτώσεις, μόνο που αντί για δύο συμμετέχοντες στο κοινό έργο έχουμε τρεις. Η εξίσωση θα μοιάζει έτσι:

$x \cdot \frac{1}{100} + x \cdot \frac{1}{75} + x \cdot \frac{1}{50} = 1$

Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με το 150 και συνεχίζουμε τις πράξεις:

$\begin{array}{rcl} x \cdot \frac{150}{100} + x \cdot \frac{150}{75} + x \cdot \frac{150}{50} & = & 150 \\ x \cdot \frac{3}{2} + x \cdot \frac{2}{1} + x \cdot \frac{3}{1} & = & 150 \\ \frac{3}{2} x + 2 x + 3 x & = & 150 \\ \frac{3}{2} x + 5 x & = & 150 / \cdot 2 \\ 3 x + 10 x & = & 300 \\ 13 x & = & 300 / \cdot \frac{1}{13} \\ x & = & \frac{300}{13} \end{array}$

Πιο όμορφο αποτέλεσμα από αυτό δεν θα πάρουμε, η πισίνα γεμίζει σε 300/13 λεπτά, δηλαδή περίπου 23 λεπτά.

Η εταιρεία «Κόβω και Θερίζω» κουρεύει ένα λιβάδι σε δέκα ώρες. Η εταιρεία «Ξεριζώνω Βιολέτες με Δυναμίτη» κουρεύει το λιβάδι σε έξι ώρες. Σε πόσες ώρες θα κούρευαν αυτές οι εταιρείες δύο τέτοια λιβάδια, αν δούλευαν μαζί;

Πόσο θα κουρέψουν και οι δύο εταιρείες σε x ώρες; Αυτό είναι πια μια κλασική παράσταση:

$x \cdot \frac{1}{6} + x \cdot \frac{1}{10}$

Επειδή όμως θέλουμε να κουρέψουν δύο λιβάδια, στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης δεν θα είναι το 1, αλλά το 2:

$x \cdot \frac{1}{6} + x \cdot \frac{1}{10} = 2$

Στη συνέχεια ο υπολογισμός γίνεται όμοια. Πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την εξίσωση με το 30 και κάνουμε τις πράξεις:

$\begin{array}{rcl} x \cdot \frac{30}{6} + x \cdot \frac{30}{10} & = & 60 \\ x \cdot \frac{5}{1} + x \cdot \frac{3}{1} & = & 60 \\ 5 x + 3 x & = & 60 \\ 8 x & = & 60 / \cdot \frac{1}{8} \\ x & = & \frac{60}{8} \\ x & = & \frac{15}{2} \\ x & = & 7, 5 \end{array}$

Τα δύο λιβάδια θα τα κούρευαν σε εφτάμισι ώρες.

Μια γυναίκα γεννάει ένα παιδί σε εννέα μήνες. Σε πόσους μήνες θα γεννήσουν παιδί εννέα γυναίκες;

« Προηγούμενο: Μέθοδος των τριών

Επόμενο: Μεικτός αριθμός »