Problemas de trabajo conjunto
Los problemas de trabajo conjunto suelen incluir a dos personajes distintos que hacen el mismo trabajo en tiempos distintos. La tarea consiste en averiguar cuánto tardarán en hacer ese trabajo si trabajan juntos.
Problema de ejemplo
Imagina que juegas a un juego en el que luchas contra un dragón. El Paladín despedaza al dragón con su espada en 30 segundos, mientras que el Bárbaro lo machaca con su maza en tan solo 20 segundos. La pregunta es cuánto tardarían en matar al dragón si el Bárbaro y el Paladín lucharan juntos contra él. ¿Cuánto «trabajo conjunto» tienen que invertir?
Resolveremos el problema averiguando primero cuánto daño hace al dragón cada uno de los intrépidos guerreros en un segundo. Como el Paladín mata al dragón en 30 segundos, en un segundo le quita al dragón 1/30 de sus puntos de vida, una treintava parte. Si el dragón tuviera 180 puntos de vida, para que el Paladín lo matara en treinta segundos tendría que quitarle cada segundo 180 / 30 = 6 puntos de vida (esa es una treintava parte de su vida). Además, 180 / 30 es lo mismo que 180 · (1/30).
El Bárbaro lo mata en 20 segundos, así que al dragón le quita cada segundo 1/20 de su vida. Al mismo dragón, que tendría 180 puntos de vida, le quitaría cada segundo 180 / 20 = 9 puntos de vida.
Así que el Paladín le quita al dragón por segundo 1/30 de su vida y el Bárbaro, 1/20. Ahora nos preguntamos cuántos segundos hacen falta para que estos caballeros lo maten uniendo fuerzas. Podemos verlo paso a paso: ¿cuánta vida le quitarían al dragón en dos segundos?
Sería una sexta parte de su vida. Sumamos 1/30 + 1/20, porque los guerreros luchan juntos, y lo sumamos en total dos veces, porque luchan dos segundos. Vemos que podemos generalizarlo: si luchan x segundos, le quitan al dragón
de vida. Ahora solo queda una cosa: el dragón muere cuando le quitan toda la vida. Toda la vida la representa el número 1, porque la fracción 1/30 representa una treintava parte de la vida del dragón; el número 1 es, pues, la vida total del dragón. La expresión anterior la igualamos, por tanto, a uno:
y buscamos la solución. Multiplicamos toda la ecuación por 60 y obtenemos:
Nos sale que x = 12. Eso significa que matarán al dragón en 12 segundos. No está mal.
Podemos comprobarlo sustituyendo números concretos. Teníamos aquí un dragón con 180 puntos de vida y el resultado dice que juntos lo matan en 12 segundos. El Paladín le quita a este dragón 6 puntos de vida por segundo y el Bárbaro, 9. Eso significa que el Paladín en total le quita al dragón en 12 segundos 12 · 6 = 72 puntos de vida y el Bárbaro, 12 · 9 = 108. En total le han quitado 72 + 108 = 180 puntos de vida, lo cual concuerda con que le han quitado toda la vida.
Repasa otros ejercicios resueltos de trabajo conjunto:
Ejemplos
- Hugo tiene muchísimas ganas de comprarse un móvil nuevo. Ha hablado con su madre, que le ha dicho que le dará cada semana una paga y que al cabo de 60 semanas tendrá justo el dinero para el móvil que tanto desea. Pero Hugo no es tonto y ha ido también a ver a su padre. Este también le ha prometido dinero y le ha dicho que tendrá para el móvil nuevo en solo 30 semanas. ¿Cuánto tardará en realidad Hugo en tener el móvil nuevo si recibe la paga semanal tanto de su madre como de su padre?
De su madre recibe Hugo cada semana 1/60 del precio del móvil y de su padre, 1/30 del precio del móvil. La ecuación la planteamos exactamente igual que en el caso anterior:
La expresión x · 1/60 + x · 1/30 nos indica qué parte del precio del móvil tendrá Hugo ahorrada después de x semanas. Como preguntamos cuándo tendrá justo lo que cuesta ese móvil, igualamos esta expresión a uno. Si quisiera comprar tres móviles, en el segundo miembro estaría el número tres.
Resolvemos la ecuación. Primero la multiplicamos por 60:
El resultado es que Hugo tendrá el móvil nuevo en 20 semanas. De nuevo podemos comprobarlo sustituyendo valores reales: si el móvil costara 360 euros, de su madre recibiría cada semana 1/60 de este precio, es decir, 6 euros. De su padre recibiría 1/30 de este precio, que son 12 euros. Vaya, tiene unos padres bastante generosos. En 20 semanas recibiría de su madre 20 · 6 = 120 euros, mientras que de su padre obtendría 20 · 12 = 240 euros. En total recibiría 120 + 240 = 360 euros.
- A una piscina llegan en total tres tuberías. Una llena la piscina en 100 minutos, otra en 75 minutos y la última en 50 minutos. ¿Cuánto tardará en llenarse la piscina si se llena con las tres tuberías a la vez?
Este ejemplo es de nuevo igual que los anteriores; solo que en lugar de dos participantes en el trabajo conjunto tenemos tres. La ecuación quedará así:
Multiplicamos la ecuación por 150 y seguimos con las transformaciones:
Un resultado más bonito no vamos a sacar: la piscina se llena en 300/13 minutos, que son aproximadamente 23 minutos.
- La empresa «Siego y Corto» siega un prado en diez horas. La empresa «Arranco Violetas con Dinamita» siega el prado en seis horas. ¿En cuántas horas segarían estas empresas dos prados como ese si trabajaran juntas?
¿Cuánto siegan las dos empresas en x horas? Ya es la expresión clásica:
Pero, como queremos que sieguen dos prados, en el segundo miembro de la ecuación no estará 1, sino 2:
A partir de aquí el cálculo transcurre igual. Multiplicamos toda la ecuación por 30 y transformamos:
Los dos prados los segarían en siete horas y media.
- Una mujer da a luz a un niño en nueve meses. ¿En cuántos meses darán a luz a un niño nueve mujeres?
