Задачи за съвместна работа

Задачите за съвместна работа обикновено включват два различни персонажа, които вършат една и съща работа за различно време. Задачата е да установим за колко време ще свършат работата, ако работят заедно.

Примерна задача

Представи си, че играеш някаква игра, в която се биеш срещу дракон. Паладинът с меча си разсича дракона за 30 секунди, а Варваринът го смазва с тоягата си само за 20 секунди. Въпросът е за колко време биха убили дракона, ако Варваринът и Паладинът се бият срещу него заедно? Колко „съвместна работа“ трябва да вложат?

Задачата ще решим, като първо установим каква част от живота на дракона отнема всеки от безстрашните бойци за една секунда. Тъй като Паладинът убива дракона за 30 секунди, за една секунда той отнема на дракона 1/30 от живота му, една тридесета от живота. Ако драконът имаше 180 живота, за да го убие Паладинът за тридесет секунди, трябва да му отнема всяка секунда по 180 / 30 = 6 живота (това е една тридесета от живота му). При това 180 / 30 е същото като 180 · (1/30).

Варваринът го убива за 20 секунди, така че отнема на дракона всяка секунда 1/20 от живота му. На същия дракон със 180 живота би отнемал всяка секунда 180 / 20 = 9 живота.

Значи Паладинът отнема на дракона за секунда 1/30 от живота му, Варваринът 1/20. Сега питаме колко секунди са нужни, за да го убият тези господа с общи усилия? Можем да го разгледаме постепенно – колко живота биха отнели на дракона за две секунди?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Това би била една шеста от живота му. Събираме 1/30 + 1/20, защото воините се бият заедно, и го събираме общо два пъти, защото се бият две секунди. Виждаме, че можем да го обобщим така: когато се бият x секунди, отнемат на дракона

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

живота. Сега остава само едно – драконът умира, когато му бъдат отнети всички животи. Всички животи се представят с числото 1, защото дробта 1/30 представлява една тридесета от живота на дракона – числото 1 е така общият брой животи на дракона. Предишния израз така просто приравняваме на едно:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

и търсим решение. Цялото уравнение умножаваме с 60, така получаваме:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Получаваме, че x = 12. Това означава, че ще убият дракона за 12 секунди. Не е зле.

Можем да го проверим със заместване на конкретни числа. Имахме дракон със 180 живота и резултатът казва, че заедно ще го убият за 12 секунди. Паладинът отнема на този дракон 6 живота за секунда, Варваринът 9. Това означава, че Паладинът общо за 12 секунди отнема на дракона 12 · 6 = 72 живота, а Варваринът 12 · 9 = 108 живота. Общо са му отнели 72 + 108 = 180 живота, което съвпада с това, че са му отнели всички животи.

Разгледай още решени примери за съвместна работа:

Примери

• Иванчо много би искал да си купи нов телефон. Разбрал се е с мама: тя му е казала, че всяка седмица ще му дава джобни и че след 60 седмици ще има точно толкова пари, колкото струва желаният телефон. Но Иванчо не е вчерашен и е отишъл и при татко. Той също му е обещал пари и му е казал, че ще има за новия телефон дори само след 30 седмици. След колко време в действителност Иванчо ще има новия телефон, ако получава седмични джобни и от мама, и от татко?

От мама Иванчо получава всяка седмица 1/60 от цената на телефона, от татко пък 1/30 от цената на телефона. Уравнението съставяме съвсем както в предишния случай:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Изразът x · 1/60 + x · 1/30 ни определя каква част от цената на телефона ще е спестил Иванчо след x седмици. Тъй като питаме кога ще има точно за този телефон, приравняваме този израз на едно. Ако искаше да купи три телефона, отдясно щеше да е числото три.

Решаваме уравнението. Първо го умножаваме с 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Резултатът е, че Иванчо ще има новия телефон след 20 седмици. Можем отново да го проверим със заместване на реални стойности: ако телефонът струва 900 €, от мама ще получава всяка седмица 1/60 от тази цена, т.е. 15 евро. От татко ще получава 1/30 от тази цена, което е 30 евро. Е, има доста щедри родители. За 20 седмици от мама ще получи 20 · 15 = 300 евро, а от татко ще получи 20 · 30 = 600 евро. Общо ще получи 300 + 600 = 900 евро.

• Към един басейн водят общо три тръби. Едната напълва басейна за 100 минути, другата за 75 минути, а последната за 50 минути. За колко време ще напълнят басейна, ако се пълни едновременно от трите тръби?

Този пример е отново същият като в предишните случаи, само че вместо двама участници в съвместната работа имаме трима. Уравнението ще изглежда така:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Уравнението умножаваме със 150 и продължаваме с преобразуванията:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

По-красив резултат от това няма да получим, басейнът ще се напълни за 300/13 минути, което е приблизително 23 минути.

• Фирма „Коси и жъни“ коси ливадата за десет часа. Фирма „Късам минзухари с динамит“ коси ливадата за шест часа. За колко часа тези фирми биха окосили две такива ливади, ако работят заедно?

Колко от работата ще свършат двете фирми за x часа? Това е вече класическият израз:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Но тъй като искаме да окосят две ливади, отдясно на уравнението няма да е 1, а ще е 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

По-нататък пресмятането протича по същия начин. Умножаваме цялото уравнение с 30 и преобразуваме:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

Двете ливади ще бъдат окосени за седем часа и половина.

• Една жена ражда дете за девет месеца. За колко месеца ще родят дете девет жени?