Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética nos dice que todo número natural mayor que 1 puede descomponerse de forma única en un producto de números primos. Por ejemplo, el número 15 puede descomponerse en el producto de dos números primos 3 · 5, el número 30 puede descomponerse en el producto de tres números primos 2 · 3 · 5 y, por ejemplo, el número 16 puede descomponerse en el producto de cuatro números primos 2 · 2 · 2 · 2. A un producto así lo llamamos descomposición en factores primos. Decimos, pues, que la descomposición en factores primos del número 10 es 2 · 5.

La descomposición en factores primos más sencilla la tienen los propios números primos, porque a esos ya no hace falta descomponerlos más. La descomposición en factores primos del número 7 es, sencillamente, 7.

Calcula la descomposición en factores primos

Qué nos dice el teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética nos dice, pues, dos cosas:

• para todo número natural mayor que 1 somos capaces de encontrar su descomposición en factores primos,
• todo número tiene una única descomposición en factores primos.

Vamos a demostrar que realmente es así.

Demostración de la existencia

Primero demostraremos que para todo número natural mayor que 1 existe realmente al menos una descomposición en factores primos. Para ello usaremos la inducción matemática. El primer paso de la inducción será decir que el número natural más pequeño mayor que 1, es decir, el número 2, es un número primo.

Ahora mostraremos que, si ya tenemos una sucesión de números 2, …, n para los que se puede encontrar una descomposición en factores primos, cuando añadimos a esta sucesión el número n + 1, también para este nuevo número existe una descomposición en factores primos. Primero lo veremos con un ejemplo.

Al principio nuestra sucesión 2, …, n está un poco deformada, porque contiene un solo número, el número 2. Decimos que, si añadimos a esta sucesión el número n + 1, es decir, el número 3, para este número existirá una descomposición en factores primos. Como el número 3 es primo, para él existe, por supuesto, una descomposición en factores primos: es el propio número 3.

Nuestra sucesión 2, …, n tiene ahora dos términos: 2, 3. Añadimos a la sucesión el número 4. El número 4 no es primo, así que tiene que poder descomponerse en un producto de otros dos números naturales mayores que 1 pero menores que 4. ¡Todos esos números forman parte de nuestra sucesión! Y en esta sucesión solo hay números que tienen descomposición en factores primos. Por tanto, también el número 4 tiene que tener una descomposición en factores primos: 2 · 2.

Volviendo a la demostración general, podemos escribir que el número 2 es primo y, por tanto, tiene una descomposición en factores primos. Supongamos ahora que todo número de la sucesión 2, …, n puede descomponerse en factores primos: esa es nuestra hipótesis de inducción. Entonces se cumple que el número n + 1 es primo y, por tanto, puede descomponerse trivialmente en números primos, o bien es un número compuesto. Para este número tienen que existir, por tanto, números a, b tales que

$$n+1=a\cdot b$$

y se tiene que cumplir que estos números naturales son, por supuesto, menores que n + 1 y mayores que 1:

$$\begin{array}{rcl}a>1,& & a<n+1\\ b>1,& & b<n+1\end{array}$$

Los números a, b tienen que formar parte, pues, de la sucesión 2, …, n. Pero para todo número de esta sucesión existe una descomposición en factores primos (es nuestra hipótesis de inducción), es decir, podemos escribir

$$\begin{array}{rcl}a& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ b& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

donde todos los p_i y q_j son números primos, y p₁ · p₂ · … · p_i y q₁ · q₂ · … · q_j son, por tanto, sus descomposiciones en factores primos. Pero como hemos dicho que n + 1 puede descomponerse en el producto n + 1 = a · b, se cumple al mismo tiempo

$$\begin{array}{rcl}n+1& =& a\cdot b\\ & =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\cdot q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

El número n + 1 puede descomponerse, pues, en el producto de números primos p₁ · p₂ · … · p_i · q₁ · q₂ · … · q_j, así que también el número n + 1 recién añadido tiene una descomposición en factores primos. De ello se deduce que todo número natural mayor que 1 tiene al menos una descomposición en factores primos.

Demostración de la unicidad

Veamos ahora que para todo número natural mayor que 1 no existen varias descomposiciones en factores primos. Este teorema lo demostraremos por reducción al absurdo. Supondremos que el teorema no es cierto y, por tanto, supondremos que existe un número natural n mayor que 1 que tiene dos descomposiciones en factores primos distintas:

$$\begin{array}{rcl}n& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ n& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Supongamos además que, de todos los números que tienen varias descomposiciones en factores primos, n es el más pequeño. Es decir, que no existe ningún número natural menor que tenga más de una descomposición en factores primos. Como q₁ es uno de los números primos que dividen al número n, por supuesto también tiene que cumplirse que q₁ divide al número p₁ · p₂ · … · p_i.

A continuación tenemos que usar el lema de Euclides. Dice que, si un número primo p divide al producto de dos números enteros a · b, entonces p divide también al menos a uno de los números a o b. Por ejemplo: el número primo 3 divide al número 84. El número 84 podemos descomponerlo en el producto de números 12 · 7. El lema de Euclides dice que el número primo 3 divide al menos a uno de los números 12 o 7; en este caso divide al número 12.

Usando este lema podemos decir que, si q₁ divide a p₁ · p₂ · … · p_i, tiene que dividir también al menos a uno de los números p₁, p₂, …, p_i. Podemos suponer —sin pérdida de generalidad— que q₁ divide al número p₁. Pero p₁ también es un número primo. ¿Cuándo puede un número primo dividir a otro número primo? Por ejemplo, ¿qué número primo es divisible por el número primo 7? Otra vez solo el número primo 7. No puede dividir a otro número primo, porque entonces este no sería primo. Tiene que cumplirse, pues, que p₁ = q₁.

Esto significa que en las dos descomposiciones en factores primos existe un número primo que es el mismo: el número primo p₁, o sea, q₁. Dividamos las dos ecuaciones entre p₁ y q₁, respectivamente:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n}{p_1}& =& \frac{p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i}{p_1}\\ \frac{n}{q_1}& =& \frac{q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j}{q_1}\end{array}$$

Como p₁ = q₁, en el lado izquierdo obtenemos el mismo número; llamémoslo, por ejemplo, m. Se cumple, pues, que

$$m=\frac{n}{p_1}=\frac{n}{q_1}$$

En el lado derecho simplificamos las fracciones:

$$\begin{array}{rcl}m& =& p_2\cdot p_3\cdot \dots \cdot p_i\\ m& =& q_2\cdot q_3\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

El número m es sin duda un número natural menor que el número n, porque m se obtuvo al dividir n entre uno de sus factores primos. Pero en el lado derecho de las ecuaciones tenemos en ambos casos una descomposición en factores primos del número m. Es decir, hemos conseguido construir otro número m que es menor que n y que también tiene dos descomposiciones en factores primos distintas. Lo cual contradice nuestra suposición de que n es el número más pequeño que tiene más de una descomposición en factores primos.

La única explicación es, pues, que no existe ningún «número más pequeño con más de una descomposición en factores primos». Y que no exista ningún «número más pequeño con más de una descomposición en factores primos» significa que no existe ni un solo número con varias descomposiciones en factores primos: todo número entero mayor que uno tiene, por tanto, exactamente una descomposición en factores primos.