Teorema fundamentală a aritmeticii

Teorema fundamentală a aritmeticii ne spune că orice număr natural mai mare decât 1 se poate descompune în mod unic într-un produs de numere prime. De exemplu, numărul 15 se descompune în produsul a două numere prime 3 · 5, numărul 30 în produsul a trei numere prime 2 · 3 · 5, iar numărul 16 în produsul a patru numere prime 2 · 2 · 2 · 2. Un astfel de produs se numește descompunere în factori primi. Spunem deci că descompunerea în factori primi a lui 10 este 2 · 5.

Cea mai simplă descompunere în factori primi o au chiar numerele prime, pentru că pe ele nu mai trebuie să le descompunem. Descompunerea în factori primi a lui 7 este pur și simplu 7.

Calculează descompunerea în factori primi

Ce ne spune teorema fundamentală a aritmeticii

Teorema fundamentală a aritmeticii ne spune, așadar, două lucruri:

• pentru orice număr natural mai mare decât 1 putem găsi o descompunere în factori primi,
• fiecare număr are exact o singură descompunere în factori primi.

Să demonstrăm că așa stau lucrurile.

Demonstrația existenței

Mai întâi demonstrăm că pentru orice număr natural mai mare decât 1 există cel puțin o descompunere în factori primi. Folosim în acest scop inducția matematică. Primul pas al inducției este să observăm că cel mai mic număr natural mai mare decât 1, adică numărul 2, este prim.

Arătăm acum că, dacă avem deja șirul de numere 2, …, n, pentru care se poate găsi o descompunere în factori primi, și îi adăugăm numărul n + 1, atunci există o descompunere în factori primi și pentru acest număr nou. Să vedem mai întâi pe un exemplu.

La început, șirul nostru 2, …, n este puțin deformat, pentru că are un singur număr, numărul 2. Spunem că, dacă adăugăm la acest șir numărul n + 1, adică numărul 3, atunci pentru el va exista o descompunere în factori primi. Deoarece 3 este număr prim, pentru el descompunerea în factori primi există, desigur – este chiar 3.

Șirul nostru 2, …, n are acum doi termeni: 2, 3. Adăugăm numărul 4. Numărul 4 nu este prim, deci trebuie să se poată scrie ca produs de alte două numere naturale, mai mari decât 1, dar mai mici decât 4. Toate aceste numere fac însă parte din șirul nostru! Iar în acest șir se află doar numere care au o descompunere în factori primi! Prin urmare, și numărul 4 trebuie să aibă o descompunere în factori primi: 2 · 2.

Revenind la demonstrația generală, putem scrie că numărul 2 este prim și deci are o descompunere în factori primi. Presupunem acum că fiecare număr din șirul 2, …, n se poate descompune în factori primi – aceasta este ipoteza de inducție. Atunci numărul n + 1 este fie prim, și atunci se descompune în mod trivial în factori primi, fie este un număr compus. Pentru acest număr trebuie să existe numerele a, b astfel încât

$$n+1=a\cdot b$$

și, desigur, aceste numere naturale sunt mai mici decât n + 1 și mai mari decât 1:

$$\begin{array}{rcl}a>1,& & a<n+1\\ b>1,& & b<n+1\end{array}$$

Numerele a, b fac deci parte din șirul 2, …, n. Dar pentru fiecare număr din acest șir există o descompunere în factori primi (aceasta este ipoteza de inducție), adică putem scrie

$$\begin{array}{rcl}a& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ b& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

unde toate numerele p_i și q_j sunt prime, iar p₁ · p₂ · … · p_i și q₁ · q₂ · … · q_j sunt astfel descompunerile lor în factori primi. Deoarece am spus că n + 1 se descompune în produsul n + 1 = a · b, avem totodată

$$\begin{array}{rcl}n+1& =& a\cdot b\\ & =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\cdot q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Numărul n + 1 se descompune, așadar, în produsul de numere prime p₁ · p₂ · … · p_i · q₁ · q₂ · … · q_j, deci și numărul n + 1, adăugat acum, are o descompunere în factori primi. De aici rezultă că orice număr natural mai mare decât 1 are cel puțin o descompunere în factori primi.

Demonstrația unicității

Să arătăm acum că pentru orice număr natural mai mare decât 1 nu există mai multe descompuneri în factori primi. Vom demonstra această teoremă prin reducere la absurd. Presupunem că teorema nu este adevărată, deci că există un număr natural n mai mare decât 1 care are două descompuneri diferite în factori primi:

$$\begin{array}{rcl}n& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ n& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Presupunem totodată că, dintre toate numerele care au mai multe descompuneri în factori primi, n este cel mai mic. Adică nu există niciun număr natural mai mic care să aibă mai mult de o descompunere în factori primi. Deoarece q₁ este unul dintre numerele prime care divid numărul n, trebuie desigur să dividă și numărul p₁ · p₂ · … · p_i.

În continuare trebuie să folosim lema lui Euclid. Aceasta spune că, dacă un număr prim p divide produsul a două numere întregi a · b, atunci p divide cel puțin unul dintre numerele a sau b. Un exemplu: numărul prim 3 divide numărul 84. Numărul 84 se poate scrie ca produsul 12 · 7. Lema lui Euclid spune că numărul prim 3 divide cel puțin unul dintre numerele 12 sau 7 – în acest caz îl divide pe 12.

Folosind această lemă, putem spune că, dacă q₁ divide p₁ · p₂ · … · p_i, atunci trebuie să dividă și cel puțin unul dintre numerele p₁, p₂, …, p_i. Putem presupune – fără a restrânge generalitatea – că q₁ divide numărul p₁. Dar p₁ este și el număr prim. Când poate un număr prim să dividă un alt număr prim? De exemplu, ce număr prim este divizibil cu numărul prim 7? Tot doar numărul prim 7. Nu poate divide un alt număr prim, pentru că atunci acela nu ar mai fi prim. Trebuie deci să avem p₁ = q₁.

Aceasta înseamnă că în ambele descompuneri în factori primi există un număr prim egal: numărul prim p₁, respectiv q₁. Să împărțim cele două egalități la p₁, respectiv la q₁:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n}{p_1}& =& \frac{p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i}{p_1}\\ \frac{n}{q_1}& =& \frac{q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j}{q_1}\end{array}$$

Deoarece p₁ = q₁, în membrul stâng obținem același număr, pe care îl notăm, de exemplu, cu m. Deci

$$m=\frac{n}{p_1}=\frac{n}{q_1}$$

În membrul drept doar simplificăm fracțiile:

$$\begin{array}{rcl}m& =& p_2\cdot p_3\cdot \dots \cdot p_i\\ m& =& q_2\cdot q_3\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Numărul m este cu siguranță un număr natural mai mic decât n, pentru că l-am obținut împărțind pe n la unul dintre factorii lui primi. În membrul drept al ambelor egalități avem însă câte o descompunere în factori primi a lui m. Prin urmare, am reușit să construim un alt număr m, mai mic decât n, care are și el două descompuneri diferite în factori primi. Aceasta contrazice însă presupunerea noastră că n este cel mai mic număr care are mai mult de o descompunere în factori primi.

Singura explicație este că nu există niciun „cel mai mic număr cu mai mult de o descompunere în factori primi”. Iar faptul că nu există „cel mai mic număr cu mai mult de o descompunere în factori primi” înseamnă că nu există niciun număr cu mai multe descompuneri – orice număr întreg mai mare decât unu are deci exact o singură descompunere în factori primi.