Teorema fundamental da aritmética

O teorema fundamental da aritmética nos diz que todo número natural maior que 1 pode ser decomposto de modo único em um produto de números primos. Por exemplo, o número 15 pode ser decomposto no produto de dois primos 3 · 5, o número 30 no produto de três primos 2 · 3 · 5 e o número 16 no produto de quatro primos 2 · 2 · 2 · 2. A um produto desse tipo chamamos decomposição em fatores primos. Dizemos, então, que a decomposição em fatores primos do número 10 é 2 · 5.

Os próprios números primos têm a decomposição mais simples, porque não precisamos decompô-los mais. A decomposição em fatores primos do número 7 é simplesmente 7.

Calcule a decomposição em fatores primos

O que o teorema fundamental da aritmética nos diz

O teorema fundamental da aritmética nos diz, portanto, duas coisas:

• para todo número natural maior que 1, somos capazes de encontrar a decomposição em fatores primos;
• todo número tem exatamente uma decomposição em fatores primos.

Vamos demonstrar que realmente é assim.

Demonstração da existência

Primeiro vamos demonstrar que, para todo número natural maior que 1, existe pelo menos uma decomposição em fatores primos. Para isso, usaremos a indução matemática. O primeiro passo da indução será observar que o menor número natural maior que 1, isto é, o número 2, é primo.

Agora vamos mostrar que, se já temos uma sequência de números 2, …, n para os quais é possível encontrar a decomposição em fatores primos, então, ao acrescentar o número n + 1 a essa sequência, também para esse novo número existe uma decomposição em fatores primos. Primeiro vamos ver isso em um exemplo.

No começo, nossa sequência 2, …, n é meio deformada, porque contém apenas um número, o 2. Dizemos que, ao acrescentar a essa sequência o número n + 1, isto é, o número 3, existirá uma decomposição em fatores primos para esse número. Como o número 3 é primo, é claro que existe uma decomposição para ele: é o próprio 3.

Agora nossa sequência 2, …, n tem dois termos: 2, 3. Acrescentamos à sequência o número 4. O número 4 não é primo, portanto pode ser decomposto em um produto de dois outros números naturais maiores que 1 e menores que 4. Mas todos esses números fazem parte da nossa sequência! E nessa sequência há apenas números que têm decomposição em fatores primos! Logo, o número 4 também precisa ter uma decomposição em fatores primos: 2 · 2.

Voltando à demonstração geral, podemos escrever que o número 2 é primo e, portanto, tem decomposição em fatores primos. Suponhamos agora que todo número da sequência 2, …, n pode ser decomposto em fatores primos — essa é a nossa hipótese de indução. Então o número n + 1 ou é primo e, portanto, se decompõe trivialmente em primos, ou é um número composto. Nesse caso, devem existir números a, b tais que

$$n+1=a\cdot b$$

e esses números naturais são, naturalmente, menores que n + 1 e maiores que 1:

$$\begin{array}{rcl}a>1,& & a<n+1\\ b>1,& & b<n+1\end{array}$$

Logo, os números a, b fazem parte da sequência 2, …, n. Mas para todo número dessa sequência existe uma decomposição em fatores primos (é a nossa hipótese de indução), isto é, podemos escrever

$$\begin{array}{rcl}a& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ b& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

em que todos os p_i e q_j são números primos, e p₁ · p₂ · … · p_i e q₁ · q₂ · … · q_j são as decomposições deles em fatores primos. Como dissemos que n + 1 pode ser decomposto no produto n + 1 = a · b, também vale

$$\begin{array}{rcl}n+1& =& a\cdot b\\ & =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\cdot q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

O número n + 1 pode, portanto, ser decomposto no produto de números primos p₁ · p₂ · … · p_i · q₁ · q₂ · … · q_j, ou seja, o número n + 1, recém-acrescentado, também tem uma decomposição em fatores primos. Daí segue que todo número natural maior que 1 tem pelo menos uma decomposição em fatores primos.

Demonstração da unicidade

Vamos mostrar agora que, para todo número natural maior que 1, não existe mais de uma decomposição em fatores primos. Vamos demonstrar esse teorema por meio de uma demonstração por absurdo. Vamos supor que o teorema não é verdadeiro e, portanto, que existe um número natural n maior que 1 que tem duas decomposições em fatores primos diferentes:

$$\begin{array}{rcl}n& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ n& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Suponhamos também que, entre todos os números que têm mais de uma decomposição em fatores primos, n seja o menor. Isto é, não existe número natural menor que tenha mais de uma decomposição em fatores primos. Como q₁ é um dos primos que dividem o número n, é claro que q₁ também divide o número p₁ · p₂ · … · p_i.

Agora precisamos usar o lema de Euclides. Ele diz que, se um número primo p divide o produto de dois números inteiros a · b, então p divide pelo menos um dos números a ou b. Como exemplo: o número primo 3 divide o número 84. Podemos decompor o número 84 no produto 12 · 7. O lema de Euclides diz que o primo 3 divide pelo menos um dos números 12 ou 7 — neste caso, divide o 12.

Usando esse lema, podemos dizer que, se q₁ divide p₁ · p₂ · … · p_i, então ele também precisa dividir pelo menos um dos números p₁, p₂, …, p_i. Podemos supor — sem perda de generalidade — que q₁ divide o número p₁. Só que p₁ também é primo. Quando um número primo pode dividir outro número primo? Por exemplo, qual número primo é divisível pelo primo 7? Novamente, só o próprio 7. Ele não pode dividir outro primo, pois então este não seria primo. Logo, tem de valer p₁ = q₁.

Isso significa que, nas duas decomposições em fatores primos, existe um primo que é igual: o primo p₁, que é o mesmo que q₁. Vamos dividir as duas igualdades por p₁ e por q₁, respectivamente:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n}{p_1}& =& \frac{p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i}{p_1}\\ \frac{n}{q_1}& =& \frac{q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j}{q_1}\end{array}$$

Como p₁ = q₁, obtemos o mesmo número no lado esquerdo; vamos chamá-lo de m. Logo,

$$m=\frac{n}{p_1}=\frac{n}{q_1}$$

No lado direito, basta simplificar as frações:

$$\begin{array}{rcl}m& =& p_2\cdot p_3\cdot \dots \cdot p_i\\ m& =& q_2\cdot q_3\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

O número m é com certeza um número natural menor que n, porque m surgiu ao dividirmos n por um de seus fatores primos. Mas, no lado direito das igualdades, temos em ambos os casos uma decomposição de m em fatores primos. Ou seja, conseguimos construir outro número m, menor que n, que também tem duas decomposições em fatores primos diferentes. Isso contradiz a nossa suposição de que n é o menor número que tem mais de uma decomposição em fatores primos.

A única explicação é que não existe nenhum “menor número com mais de uma decomposição em fatores primos”. E o fato de não existir um “menor número com mais de uma decomposição em fatores primos” significa que não existe nenhum número com várias decomposições — todo número inteiro maior que 1 tem, portanto, exatamente uma decomposição em fatores primos.