Teorema fondamentale dell’aritmetica

Il teorema fondamentale dell’aritmetica ci dice che ogni numero naturale maggiore di 1 si può scomporre in modo unico in un prodotto di numeri primi. Per esempio, il numero 15 si scompone nel prodotto di due numeri primi 3 · 5, il numero 30 nel prodotto di tre numeri primi 2 · 3 · 5 e il numero 16 nel prodotto di quattro numeri primi 2 · 2 · 2 · 2. Un prodotto di questo tipo si chiama scomposizione in fattori primi. Diciamo quindi che la scomposizione in fattori primi del numero 10 è 2 · 5.

La scomposizione in fattori primi più semplice è quella dei numeri primi stessi, perché non c’è bisogno di scomporli ulteriormente. La scomposizione in fattori primi del numero 7 è semplicemente 7.

Calcola la scomposizione in fattori primi

Che cosa ci dice il teorema fondamentale dell’aritmetica

Il teorema fondamentale dell’aritmetica ci dice dunque due cose:

• per ogni numero naturale maggiore di 1 siamo in grado di trovare una scomposizione in fattori primi,
• ogni numero ha una e una sola scomposizione in fattori primi.

Dimostriamo che è davvero così.

Dimostrazione dell’esistenza

Dimostriamo prima che per ogni numero naturale maggiore di 1 esiste davvero almeno una scomposizione in fattori primi. Useremo l’induzione matematica. Il passo base dell’induzione sarà osservare che il più piccolo numero naturale maggiore di 1, cioè il numero 2, è un numero primo.

Mostriamo ora che, se abbiamo già la successione di numeri 2, …, n per i quali si può trovare una scomposizione in fattori primi, allora aggiungendo a questa successione il numero n + 1 esiste una scomposizione in fattori primi anche per questo nuovo numero. Vediamolo prima con un esempio.

All’inizio la nostra successione 2, …, n è un po’ particolare, perché contiene un solo numero, il 2. Diciamo che, se aggiungiamo a questa successione il numero n + 1, cioè il numero 3, per questo numero esisterà una scomposizione in fattori primi. Poiché il numero 3 è primo, la sua scomposizione in fattori primi ovviamente esiste: è il numero 3 stesso.

La nostra successione 2, …, n ora ha due termini: 2, 3. Aggiungiamo alla successione il numero 4. Il numero 4 non è primo, quindi si deve poter scomporre nel prodotto di altri due numeri naturali maggiori di 1 ma minori di 4. Tutti questi numeri però fanno parte della nostra successione! E in questa successione ci sono solo numeri che hanno una scomposizione in fattori primi! Quindi anche il numero 4 deve avere una scomposizione in fattori primi: 2 · 2.

Tornando alla dimostrazione generale, possiamo scrivere che il numero 2 è primo e quindi ha una scomposizione in fattori primi. Supponiamo ora che ogni numero della successione 2, …, n si possa scomporre in fattori primi: questa è la nostra ipotesi induttiva. Allora il numero n + 1 è primo, e quindi si scompone banalmente in fattori primi, oppure è un numero composto. In questo caso devono esistere due numeri a, b tali che

$$n+1=a\cdot b$$

e questi numeri naturali devono ovviamente essere minori di n + 1 e maggiori di 1:

$$\begin{array}{rcl}a>1,& & a<n+1\\ b>1,& & b<n+1\end{array}$$

I numeri a, b devono quindi far parte della successione 2, …, n. Ma per ogni numero di questa successione esiste una scomposizione in fattori primi (è la nostra ipotesi induttiva), cioè possiamo scrivere

$$\begin{array}{rcl}a& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ b& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

dove tutti i p_i e q_j sono numeri primi e p₁ · p₂ · … · p_i e q₁ · q₂ · … · q_j sono quindi le loro scomposizioni in fattori primi. Poiché però abbiamo detto che n + 1 si può scomporre nel prodotto n + 1 = a · b, vale anche

$$\begin{array}{rcl}n+1& =& a\cdot b\\ & =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\cdot q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Il numero n + 1 si scompone dunque nel prodotto di numeri primi p₁ · p₂ · … · p_i · q₁ · q₂ · … · q_j, quindi anche il numero n + 1 appena aggiunto ha una scomposizione in fattori primi. Ne segue che ogni numero naturale maggiore di 1 ha almeno una scomposizione in fattori primi.

Dimostrazione dell’unicità

Mostriamo ora che per ogni numero naturale maggiore di 1 non esiste più di una scomposizione in fattori primi. Dimostreremo questo teorema con una dimostrazione per assurdo. Supponiamo che il teorema non sia vero, cioè che esista un numero naturale n maggiore di 1 che ha due diverse scomposizioni in fattori primi:

$$\begin{array}{rcl}n& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ n& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Supponiamo inoltre che, tra tutti i numeri che hanno più scomposizioni in fattori primi, n sia il più piccolo. Cioè non esiste un numero naturale più piccolo che abbia più di una scomposizione in fattori primi. Poiché q₁ è uno dei numeri primi che dividono il numero n, deve ovviamente valere anche che q₁ divide il numero p₁ · p₂ · … · p_i.

Dobbiamo poi usare il lemma di Euclide. Esso afferma che, se un numero primo p divide il prodotto di due numeri interi a · b, allora p divide almeno uno dei numeri a o b. Per esempio: il numero primo 3 divide il numero 84. Il numero 84 si può scomporre nel prodotto 12 · 7. Il lemma di Euclide dice che il numero primo 3 divide almeno uno dei numeri 12 o 7; in questo caso divide il numero 12.

Usando questo lemma possiamo dire che, poiché q₁ divide p₁ · p₂ · … · p_i, deve dividere anche almeno uno dei numeri p₁, p₂, …, p_i. Possiamo supporre – senza perdita di generalità – che q₁ divida il numero p₁. Ma anche p₁ è un numero primo. Quando può un numero primo dividere un altro numero primo? Per esempio, quale numero primo è divisibile per il numero primo 7? Ancora una volta, soltanto il numero primo 7. Non può dividere un altro numero primo, perché altrimenti questo non sarebbe primo. Deve quindi valere p₁ = q₁.

Questo significa che in entrambe le scomposizioni in fattori primi c’è un numero primo comune: il numero primo p₁, ovvero q₁. Dividiamo entrambe le uguaglianze per p₁, ovvero per q₁:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n}{p_1}& =& \frac{p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i}{p_1}\\ \frac{n}{q_1}& =& \frac{q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j}{q_1}\end{array}$$

Poiché p₁ = q₁, a sinistra otteniamo lo stesso numero, che chiamiamo per esempio m. Vale quindi

$$m=\frac{n}{p_1}=\frac{n}{q_1}$$

A destra basta semplificare le frazioni:

$$\begin{array}{rcl}m& =& p_2\cdot p_3\cdot \dots \cdot p_i\\ m& =& q_2\cdot q_3\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Il numero m è certamente un numero naturale minore del numero n, perché m si ottiene dividendo n per uno dei suoi fattori primi. A destra delle uguaglianze abbiamo però, in entrambi i casi, una scomposizione in fattori primi del numero m. Quindi siamo riusciti a costruire un altro numero m, minore del numero n, che ha anch’esso due diverse scomposizioni in fattori primi. Questo però contraddice la nostra ipotesi che n sia il più piccolo numero con più di una scomposizione in fattori primi.

L’unica spiegazione è quindi che non esista alcun «numero più piccolo con più di una scomposizione in fattori primi». E il fatto che non esista un «numero più piccolo con più di una scomposizione in fattori primi» significa che non esiste nemmeno un numero con più scomposizioni in fattori primi: ogni numero intero maggiore di uno ha quindi una e una sola scomposizione in fattori primi.