Binomilause

Binomilause on tavallisten kaavojen, kuten (a + b)², yleistys kombinatoriikan menetelmien avulla.

Motivaatio

Varmasti tunnet kaavat lausekkeiden (a + b)² ja (a + b)³ laskemiseen:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Ja luonteva kysymys on, voiko näitä kaavoja yleistää mielivaltaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n, eli voiko lausekkeen (a + b)ⁿ laskea?

Johto

Tietysti voi, ja juuri siihen binomilause on tarkoitettu. Yritetään katsoa, miten tämä kehitelmä jatkuisi edelleen, kun n = 4 ja n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Sinun pitäisi jo nähdä tietty kuvio. Jos meillä on lauseke (a + b)ⁿ, oikealla puolella aloitamme aina termillä aⁿ. Toinenkin termi sisältää muuttujan a, mutta eksponentti on yhtä pienempi. Esimerkiksi kehitelmässä (a + b)⁴ oikean puolen ensimmäisessä termissä on a⁴ ja toisessa a³. Jokainen seuraava termi sisältää muuttujan a yhtä pienemmällä eksponentilla kuin edellinen termi. Muuttuja b puolestaan kasvaa. Alussa meillä ei ole muuttujaa b, tai oikeastaan on, mutta eksponentilla nolla: b⁰ = 1. Toisessa termissä b:n eksponentti on yksi, sitten kaksi jne.

Koko ajan pätee yksinkertainen sääntö, että eksponenttien summan on aina oltava n. Jos otamme huomioon viimeisen kehitelmän (a + b)⁵, kolmas termi on esimerkiksi 10a³ · b² ja muuttujien a ja b eksponenttien summa on juuri 5.

Viimeinen asia on, mitkä ovat kertoimet (ne luvut muuttujien edessä) kunkin termin kohdalla. Huomaat varmasti, että nämä kertoimet ovat symmetrisiä: lausekkeessa (a + b)⁴ kertoimet ovat 1, 4, 6, 4, 1, lausekkeessa (a + b)⁵ ne ovat 1, 5, 10, 10, 5, 1. Muistutan, että a⁴ = 1 · a⁴, siksi kirjoitan siihen ykkösen, vaikka en merkitse sitä kaavoissa erikseen. Toisen yhteyden näytämme Pascalin kolmion avulla.

Pascalin kolmio

Pascalin kolmio on kätevä apuväline laskettaessa kehitelmää binomilauseen mukaan. Pascalin kolmio muodostuu luvuista, ja siinä pätee, että luku, joka on kahden muun luvun alapuolella, on yhtä suuri kuin niiden summa. Kuulostaa kömpelöltä, mutta itse kolmiosta se selviää:

Katso esimerkiksi lukua neljä. Tämän luvun yläpuolella ovat luvut 1 ja 3. Ja summa 1+3 on juuri 4. Samoin muille luvuille.

Ja miten Pascalin kolmiota hyödynnämme? Kun katsot yksittäisten rivien lukuja, huomaat, että ne muistuttavat hyvin paljon lopullisen binomikehitelmän kertoimia. Esimerkiksi lausekkeessa (a + b)² kertoimet ovat 1, 2, 1, mikä on juuri toinen rivi. Lausekkeessa (a + b)⁴ kertoimet ovat 1, 4, 6, 4, 1, mikä on juuri neljäs rivi. Jos meidän on laskettava (a + b)ⁿ, riittää katsoa Pascalin kolmion n:ttä riviä.

Binomilauseen määritelmä

Muodollisesti binomilause kuuluu näin:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

Summa lasketaan nollasta lukuun n asti, päätepisteet mukaan lukien. Eli summattavien lukumäärä on n + 1. Tuo sulkeissa oleva asia on binomikerroin, joka on kombinatoriikan asia ja kertoo, kuinka monesta eri kombinaatiosta saamme kyseisen binomikehitelmän termin. Loput ovat vain muuttujia asianmukaisilla eksponenteilla. Huomaa, että eksponenttien summa todella on yhtä suuri kuin n: n − k + k = n.

Esimerkkejä

Yksinkertainen esimerkki: laske binomilauseella (a + 2b)⁴. Ensin katsomme Pascalin kolmiosta neljännen rivin. Se kertoo meille, että kertoimet ovat muotoa: 1, 4, 6, 4, 1. Nyt jää vain täydentää eksponentit vähitellen. Ensimmäisessä termissä on vain a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

Toisessa termissä eksponentit jakautuvat pariksi 3, 1, eli saamme a³(2b)¹. Korotus ensimmäiseen potenssiin ei tee lausekkeelle mitään, joten voimme kirjoittaa a³2b. Toisen termin kerroin on 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Kolmannessa termissä eksponentit ovat 2, 2. Tässä pitää olla vähän tarkkana, korotamme potenssiin koko 2b:n, eli näin: (2b)², mikä on yhtä suuri kuin: (2b)² = 4b². Kirjoitamme kehitelmään kertoimella 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Neljäs termi on muotoa a(2b)³. Potenssiin korottamisen jälkeen saamme a8b³. Kirjoitamme kertoimella 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Ja viimeinen termi on enää (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Nyt vain hieman siistitään. Termissä 4a³2b voimme siirtää kakkosen termin alkuun ja kertoa 2 · 4 = 8. Saamme siis 8a³b. Jos teemme niin myös muille, saamme tuloksen:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Huomaa, että tässä vaiheessa kertoimet eivät enää täsmää Pascalin kolmion lukujen kanssa.