Binomialformlen

Binomialformlen er en generalisering af de klassiske formler af typen (a + b)² ved hjælp af kombinatoriske metoder.

Motivation

Du kender sikkert formlerne til beregning af (a + b)² eller (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Og det naturlige spørgsmål er, om de her formler ikke kan generaliseres til et vilkårligt naturligt tal n, altså om man kan beregne (a + b)ⁿ?

Udledning

Det kan man selvfølgelig, og det er netop det, binomialformlen bruges til. Lad os se på, hvordan udviklingen fortsætter for n = 4 og n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Nu burde du kunne se et vist mønster. Hvis vi har udtrykket (a + b)ⁿ, begynder højresiden altid med leddet aⁿ. Det andet led indeholder også variablen a, men eksponenten er én lavere. For eksempel har vi i udviklingen af (a + b)⁴ på højresiden a⁴ i det første led og a³ i det andet. Hvert følgende led indeholder variablen a med en eksponent, der er én lavere end i det foregående led. Variablen b vokser omvendt. I begyndelsen har vi ikke variablen b, eller rettere, vi har den, men med eksponenten nul: b⁰ = 1. I det andet led har b så eksponenten et, derefter to osv.

Gennem det hele gælder den simple regel, at summen af eksponenterne altid skal være lig med n. Hvis vi tager den sidste udvikling (a + b)⁵, er for eksempel det tredje led 10a³ · b², og summen af eksponenterne ved variablerne a og b er netop 5.

Det sidste er, hvad koefficienterne (de tal, der står foran variablerne) i hvert led bliver. Du lægger sikkert mærke til, at koefficienterne er symmetriske: For (a + b)⁴ har vi koefficienterne 1, 4, 6, 4, 1, for (a + b)⁵ har vi: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Jeg minder om, at a⁴ = 1 · a⁴, derfor skriver jeg ettallet der, selv om den ikke står eksplicit i formlerne. Den næste sammenhæng viser vi på Pascals trekant.

Pascals trekant

Pascals trekant er et smart hjælpemiddel, når man skal beregne en udvikling efter binomialformlen. Pascals trekant består af tal, og det gælder, at tallet, der står under to andre tal, er lig med deres sum. Det lyder besværligt, men det bliver klart af selve trekanten:

Se for eksempel på tallet fire. Over dette tal står tallene 1 og 3. Og summen 1+3 giver netop 4. På samme måde for de øvrige tal.

Og hvordan bruger vi Pascals trekant? Hvis du ser på tallene i de enkelte rækker, opdager du, at de minder meget om koefficienterne i den resulterende binomialudvikling. For eksempel har vi for (a + b)² koefficienterne 1, 2, 1, hvilket er præcis den anden række. For (a + b)⁴ har vi koefficienterne 1, 4, 6, 4, 1, hvilket er præcis den fjerde række. Hvis vi skal beregne (a + b)ⁿ, er det nok at se på den n'te række i Pascals trekant.

Binomialformlens formulering

Formelt lyder binomialformlen sådan her:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

Summen beregner vi fra nul til og med n. Det samlede antal led er altså n + 1. Det, der står i parentesen, er binomialkoefficienten, som er noget fra kombinatorikken og angiver antallet af forskellige kombinationer, hvorfra vi kan få det givne led i binomialudviklingen. Resten er så bare variabler med de rette eksponenter. Læg mærke til, at summen af eksponenterne virkelig er lig med n: n − k + k = n.

Eksempler

Et simpelt eksempel: Beregn ved hjælp af binomialformlen (a + 2b)⁴. Først kigger vi i Pascals trekant på den fjerde række. Den fortæller os, at koefficienterne får formen: 1, 4, 6, 4, 1. Nu mangler vi bare efter tur at sætte eksponenterne på. I det første led er der kun a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

I det andet led har vi eksponenterne fordelt på parret 3, 1, altså får vi a³(2b)¹. At opløfte i første potens gør ikke noget ved udtrykket, så vi kan skrive a³2b. Koefficienten ved det andet led er 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Det tredje led får eksponenterne 2, 2. Her skal vi passe lidt på, for vi opløfter hele 2b i anden, altså sådan: (2b)², hvilket er lig med: (2b)² = 4b². Vi skriver det ind i udviklingen med koefficienten 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Det fjerde led får formen a(2b)³. Efter potensopløftningen får vi a8b³. Vi skriver det ind med koefficienten 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Og det sidste led bliver bare (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Nu mangler vi bare at rydde lidt op. I leddet 4a³2b kan vi sætte toeren forrest i leddet og gange 2 · 4 = 8. Vi får altså 8a³b. Hvis vi gør det samme med resten, får vi resultatet:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Læg mærke til, at koefficienterne på dette tidspunkt ikke længere passer med tallene i Pascals trekant.