Vektörler

Vektör, büyüklüğünün yanı sıra yönü de olan bir niceliktir. Yalnızca büyüklüğü olan sıradan sayıdan, yani skalerden farkı budur.

Yönlü Doğru Parçası

Düzlemde iki farklı A, B noktası olsun. Bu noktalar arasında bir doğru parçası çizebiliriz. Böyle bir doğru parçasını genellikle AB diye yazarız, ancak noktaların sırasının önemi yoktur. AB doğru parçası ile BA doğru parçası tamamen aynıdır.

Bu her zaman işimize yaramaz, bu yüzden yönlü doğru parçası kavramını tanımlarız. Yönlü doğru parçasında başlangıç noktası ile bitim noktasını birbirinden ayırırız. AB yönlü doğru parçasının başlangıç noktası A, bitim noktası B’dir. Şekilde yönlü doğru parçasını okla gösteririz, metinde ise noktaların üzerine ok koyarak yazarız: $\overrightarrow{AB}$. Örnek:

Mavi renkle AB doğru parçası, kırmızı renkle $\overrightarrow{CD}$ yönlü doğru parçası gösterilmiştir. A = B olan bir $\overrightarrow{AB}$ yönlü doğru parçasına sıfır yönlü doğru parçası denir. Böyle bir parçanın başlangıç ve bitim noktası aynıdır; aslında yalnızca tek bir noktadır, ona doğru parçası demek bile garip kaçar.

Yönlü doğru parçasının uzunluğu, sıradan bir doğru parçasının uzunluğuyla aynıdır. $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$ olur.

Yönlü Doğru Parçasının Yönü

Şu iki yönlü doğru parçasına bak: $\overrightarrow{AB}$ ve $\overrightarrow{CD}$.

İlk bakışta bu yönlü doğru parçalarının aynı yöne sahip olduğu görülüyor. “Yön” kavramını düzgünce tanımlayabilirdik, ama biz sezgisel anlayışla yetinelim. Kısaca söylersek, iki yönlü doğru parçası paralelse ve biri ötekinin tersi tarafa bakmıyorsa aynı yöne sahiptir. Aşağıdakilerin hepsi aynı yöne sahip yönlü doğru parçası çiftleridir:

Son çiftteki, yeşil renkli parçalar $\overrightarrow{IJ}$ ve $\overrightarrow{IK}$ yönlü doğru parçalarıdır. Şimdi de aynı yöne sahip olmayan çiftlere örnek:

Vektör Nedir

Aynı yöne sahip iki yönlü doğru parçasının olduğu şekle dönelim:

Bu yönlü doğru parçalarının yalnızca yönü değil, uzunluğu da aynıdır. Aralarındaki tek fark, başka bir yerde durmalarıdır. Yönü ve uzunluğu aynı olan böyle yönlü doğru parçalarının hepsi tek ve aynı vektörü temsil eder.

Bir vektörü düzlemde (uzayda…) sonsuz farklı biçimde çizebiliriz. Verilen vektörle aynı yöne ve aynı uzunluğa sahip herhangi bir yönlü doğru parçasını almak yeter. Aşağıdaki yönlü doğru parçalarının hepsi tek bir vektörü temsil eder:

Vektörü yalnızca uzunluğu ve yönü belirler. Vektörün uzunluğu ve yönü, onu temsil eden yönlü doğru parçasının uzunluğu ve yönüdür. Vektörleri genellikle yönlü doğru parçası gibi kalın harfle ve üzerine ok koyarak yazarız. Böylece $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ vektörünü ya da kısaca $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünü elde ederiz.

Belirli bir yönlü doğru parçası ise vektörün temsilidir. Önceki şekilde toplam 7 yönlü doğru parçası var, her biri vektörün farklı bir temsilini verir. $\overrightarrow{AB}$ ve $\overrightarrow{MN}$ yönlü doğru parçaları aynı vektörü, diyelim ki $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörünü temsil eder, ama bunlar $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörünün iki farklı temsilidir.

Paralel Vektörler

İki vektörümüz olsun: $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Bu vektörler paralelse onlara paralel vektörler deriz. $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörlerinin uzunluğunun aynı olması gerekmez. Yönleri ise ya aynı ya da zıt olmalıdır. Paralel vektörlere örnekler:

Kırmızı vektörlerin hepsi paraleldir, çünkü birbirine paralel doğrular üzerindedir. Yönün başka bir önemi yok: sağ üst köşeye de baksalar, sol alta da baksalar fark etmez. Mavi $\overrightarrow{GH}$ vektörü paralel değildir.

Paralel vektörlerin yönü aynıysa onlara aynı yönlü, yönleri aynı değilse zıt yönlü deriz. Önceki şekle dönelim: $\overrightarrow{AB}$ ve $\overrightarrow{EF}$ vektörleri aynı yönlüdür, $\overrightarrow{AB}$ ve $\overrightarrow{KL}$ vektörleri zıt yönlüdür.

Vektörlerin Koordinatları

Bir vektörü sonsuz sayıda yönlü doğru parçasıyla gösterebileceğimizi biliyoruz. Bu parçalardan birinin başlangıç noktası koordinat sisteminin başlangıç noktasındadır: bu nokta düzlemde (0, 0), uzayda (0, 0, 0) noktasıdır. Şu şekle bak:

$\overrightarrow{AB}$ ve $\overrightarrow{CD}$ yönlü doğru parçalarının yönü ve uzunluğu aynıdır, yani bunlar tek bir vektördür. $\overrightarrow{CD}$ parçası koordinat sisteminin başlangıç noktasından çıkar, yani C noktasının koordinatları (0, 0)’dır. Aynısı $\overrightarrow{EF}$ ve $\overrightarrow{KL}$ çifti için de geçerlidir.

$\overrightarrow{CD}$ ve $\overrightarrow{EF}$ parçalarının başlangıç noktasından çıktığını biliyorsak, bu vektörleri yalnızca bitim noktasıyla göstermeyi kabul edebiliriz. Başlangıç noktası aynıdır (koordinat sisteminin başlangıç noktasıdır), dolayısıyla $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ parçalarını birbirinden ayırmak için bitim noktalarını yazmak yeter.

$\overrightarrow{AB}$ vektörünün, dolayısıyla $\overrightarrow{CD}$ vektörünün koordinatları (3, 1)’dir. Bunlar $\overrightarrow{CD}$ parçasının bitim noktası olan D noktasının koordinatlarıdır. $\overrightarrow{KL}$ vektörünün koordinatları ise F noktasının koordinatları olan (−1, 4)’tür.

Vektörün Koordinatları Nasıl Hesaplanır

Şimdi koordinatları belirlemenin matematiksel yoluna geçelim. Vektörü belirleyen A, B noktalarının koordinatlarını bildiğimizi varsayalım. $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörü A(2, 3) ve B(5, 4) noktalarıyla belirlensin. Bu, önceki şekilde daha yukarıdaki kırmızı vektördür. $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünü temsil eden ve başlangıç noktasından çıkan yönlü doğru parçasının bitim noktası olan D noktasının koordinatlarını nasıl buluruz?

Bunun için $\overrightarrow{AB}$ parçasının tamamını koordinat sisteminin başlangıç noktasına kaydırırız. A noktasını başlangıç noktasına getirmek için onu 2 kare sola ve 3 kare aşağı kaydırmalıyız. B noktası için de aynısını yaparız. Yani hem A hem B noktasının koordinatlarından A noktasının koordinatlarını çıkarırız. Böylece $\overrightarrow{AB}$ parçası, $\overrightarrow{CD}$ parçasının çizildiği yere gelir. Şöyle yazabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

Demek ki $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün koordinatları (3, 1)’dir. Bu, başlangıç noktası koordinat sisteminin başlangıç noktası olan yönlü doğru parçasının bitim noktasıdır.

$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörü A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarıyla belirleniyorsa, $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün koordinatlarını şöyle buluruz:

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün koordinatlarını yuvarlak parantez içinde yazarız, yani önceki $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün koordinatlarını şöyle yazardık: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(3,1)$.

Şekle dönüp $\overrightarrow{KL}$ vektörünün koordinatlarını da hesaplayabiliriz. K ve L noktalarının koordinatları K(−2, 1), L(−3, 5)’tir. Vektörün koordinatları şöyle olur:

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

F noktasının koordinatlarının doğru çıktığını görüyoruz.

Vektörlerin Uzunluğu Nasıl Hesaplanır

Vektörlerin koordinatlarını bildiğimizde uzunluklarını kolayca hesaplayabiliriz. Pisagor teoremi sayesinde, düzlemde koordinatları $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ olan vektörün uzunluğunun

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

olduğunu oldukça kolay çıkarırız.

Aşağıdaki şekilde vektörün koordinatlarının, oluşturduğumuz üçgenin kenar uzunluklarıyla örtüştüğünü ve Pisagor teoremini uygulayınca vektörün uzunluğunu gerçekten kolayca hesaplayabildiğimizi görüyoruz.

Koordinatları $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$ olan bir vektörümüz varsa uzunluğu şöyle olur:

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Şimdi de konuyu pekiştirmek için iki örnek soru var.

1. A(3, 7), B(−1, 0) noktalarıyla verilen u vektörünün koordinatlarını bul. Burada yöntem tamamen basit ve doğrudandır. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Demek ki vektörün koordinatları $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-4,-7)$’dir.

2. $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün koordinatlarının $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,3)$ olduğunu ve bu vektörün A(6, 6) ile B(x₁, y₁) noktalarından oluştuğunu, yani $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ olduğunu biliyoruz. B noktasının koordinatlarını bul.

   Yine eski tanıdığımız denklemi kurarız ve bilinmeyeni yalnız bırakırız:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   İkinci koordinatı da aynı yolla buluruz:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   B noktasının koordinatları (8, 9)’dur.