Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı, o noktadan doğruya çizilen “en kısa” doğru parçasının uzunluğuna eşittir.

Verilenler

Bir p doğrusu ve bu doğru üzerinde olmayan bir A noktası var. A noktasının p doğrusuna uzaklığını bulmak istiyoruz. Örnek olarak genel denklemi p: −x + 2y − 12 = 0 olan doğruyu ve A(6, 4) noktasını alalım:

Bu durumda uzaklık, AB doğru parçasının uzunluğuna eşittir. Burada AB doğrusu p doğrusuna diktir ve B noktası p doğrusu üzerindedir. AB doğrusuna q diyelim.

Formülle Çözüm

Hiçbir şey türetmek ve “karmaşık” hesap yapmak istemiyorsan formülü ezberleyebilirsin. A(a₁, a₂) noktası ve genel denklemi p: ax + by + c = 0 olan p doğrusu için A noktasının p doğrusuna uzaklığı şuna eşittir:

$$d(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Formülü önceki örneğe uygulayabiliriz. Değerleri yerine yazalım:

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Kesişim Noktasının Koordinatlarını Hesaplayarak Çözüm

Alternatif olarak B noktasının koordinatlarını hesaplamayı deneyebiliriz. O zaman AB doğru parçasının uzunluğunu vektörün uzunluğundan ya da Pisagor teoremi ile kolayca bulabiliriz. Bunun için q doğrusunun denklemi işimize yarar. p doğrusunun genel denkleminden p doğrusunun normal vektörünü hemen bulabiliriz: $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1,2)$. p ve q doğruları dik olduğundan, $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ vektörüne dik herhangi bir $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ vektörü alırsak, bu $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ vektörü q doğrusunun normal vektörü olur.

Böyle bir dik vektöre örnek olarak $\overrightarrow{\mathbf{m}}=(2,1)$ vektörünü alabiliriz (bunu örneğin skaler çarpımla doğrulayabiliriz). Böylece q doğrusunun genel denklemi şöyle olur:

$$q:2x+y+c=0$$

c katsayısını, doğru üzerinde olduğundan emin olduğumuz bir noktanın koordinatlarını x ve y yerine yazarak buluruz. Bizim örneğimizde bu nokta A(6, 4) noktasıdır. Şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

q doğrusunun genel denkleminin tamamı şöyledir:

$$q:2x+y-16=0$$

Şimdi iki doğrunun kesişim noktasını bulmak istiyoruz. Kesişim noktasını bulmak için iki doğrunun denklemini bir denklem sistemi olarak yazıp çözeriz:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Birinci denklemi 2 ile çarpalım, ikinciyi değiştirmeyelim:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

İki denklemi taraf tarafa toplayalım:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

B noktasının y koordinatı (ordinatı) y = 8 olur. Bu değeri denklemlerden birinde, örneğin −x + 2y − 12 = 0 denkleminde yerine yazalım:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

B noktasının koordinatları B(4, 8) olur. Artık iki noktanın da koordinatlarını biliyoruz. Doğru parçasının uzunluğunu hesaplamak kolay. AB doğru parçasından $\overrightarrow{AB}$ vektörünü oluşturup bu vektörün uzunluğunu hesaplayabiliriz.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,8)-(6,4)=(-2,4)$$

(−2, 4) vektörünün uzunluğu şuna eşittir:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$