Lineaariset yhtälöryhmät

Lineaarinen yhtälöryhmä on joukko, jossa on m lineaarista yhtälöä ja n muuttujaa. Ryhmän ratkaiseminen tarkoittaa sellaisten arvojen löytämistä, jotka voidaan sijoittaa n:n muuttujan paikalle niin, että kaikki yhtälöt pätevät.

Lineaarisen yhtälöryhmän määritelmä

Olet varmasti jo törmännyt johonkin yksinkertaiseen yhtälöryhmään, kuten

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

missä a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ ovat annettuja reaalilukuja ja x ja y ovat muuttujia. Tällä yhtälöryhmällä voi olla eri määrä ratkaisuja – ei yhtään, yksi tai äärettömän monta, aivan kuten tavallisella lineaarisella yhtälöllä. Lineaarisen yhtälöryhmän kohdalla ratkaisujen lukumäärän ja niiden löytämisen kysymys on kuitenkin monimutkaisempi kuin yksittäisen lineaarisen yhtälön tapauksessa.

Lineaarisen yhtälöryhmän määritelmä:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

missä a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m ovat reaalilukuja. Tällaista ryhmää sanotaan lineaariseksi yhtälöryhmäksi, jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta x₁, …, x_n, ja jonka kertoimet ovat a₁₁, …, a_mn. Konkreettinen esimerkki lineaarisesta yhtälöryhmästä voisi näyttää tältä:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Jos jokin a_ij on negatiivinen, se on kuitenkin tapana kirjoittaa tähän muotoon:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Edelleen pätee kuitenkin a₁₂ = −2 ja a₂₄ = −10.

Matriisimuoto

Tämä yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa matriisimuotoon. Määritellään yhteensä kolme matriisia: yksi kertoimille, yksi yhtälöiden oikeille puolille ja yksi muuttujille itselleen. Matriisit näyttävät tältä:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

Matriisi A sisältää alkuperäisten yhtälöiden kertoimet, ja sitä sanotaan ”kerroinmatriisiksi”, matriisi b sisältää yhtälöiden oikeat puolet ja matriisi x muuttujat. Koko yhtälöryhmä voidaan nyt kirjoittaa yhtälönä

$A x = b$

Tämä yhtälö on mielekäs, koska vasemmalla puolella on kahden matriisin tulo ja oikealla puolella matriisi, ja niiden koot täsmäävät. Kokeillaan kertoa vasen puoli auki. Kerrotaan tyyppiä m × n oleva matriisi tyyppiä n × 1 olevalla matriisilla, joten tulomatriisi on tyyppiä m × 1: siinä on m riviä ja yksi sarake. Toistaiseksi kaikki on kunnossa.

Suoritetaan nyt tavallinen matriisien kertolaskun algoritmi: aloitetaan matriisin A ensimmäisestä rivistä ja matriisin x ensimmäisestä sarakkeesta (muuta saraketta siinä ei ole). Saadaan:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Tällä summalla saatiin uuden matriisin ensimmäinen alkio, eli arvo b₁. Kun tämä sijoitetaan yhtälöön, saadaan:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Saatiin täsmälleen yhtälöryhmän ensimmäinen yhtälö. Samalla tavalla jatkettaisiin muiden rivien kanssa. Määritellään vielä yhtälöryhmän laajennettu matriisi, joka on kerroinmatriisi, johon on liitetty matriisi b seuraavasti:

$B = (A | b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Seuraavaksi ollaan kiinnostuneita tämän laajennetun matriisin asteesta. Alkuperäisen, laajentamattoman kerroinmatriisin astetta merkitään rank(A) ja laajennetun matriisin astetta rank(A|b). Mikä näiden asteiden suhde on? Kun matriisiin A lisätään sarake b, voi tapahtua kahta asiaa: jos tämä uusi sarake on matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatio, aste ei muutu. Jos se ei ollut lineaarikombinaatio, aste kasvaa yhdellä.

Kronecker–Capellin lause

Laajennetun matriisin aste on tärkeä, koska pätee tärkeä lause, Kronecker–Capellin lause: Yhtälöryhmällä Ax = b on ratkaisu täsmälleen silloin, kun kerroinmatriisin aste on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin aste: rank(A) = rank(A|b).

Yritetään osoittaa, että tämä lause pätee ainakin yhteen suuntaan: jos x = β on yhtälön Ax = b ratkaisu, niin rank(A) = rank(A|b). Jos nämä asteet ovat yhtä suuret, täytyy päteä, että sarake b on matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatio. Kirjoitetaan se auki. Matriisilla β on muoto:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Väitetään, että jos muuttujan x₁ paikalle sijoitetaan β₁ ja niin edelleen, kaikki yhtälöryhmän yhtälöt pätevät:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Kirjoitetaan yhtälöt nyt hieman toisin. Kun katsotaan ensimmäistä saraketta, huomataan, että siinä on aina arvot a₁₁, a₂₁, …, a_m1, jotka kerrotaan samalla arvolla β₁. Kun sarake erotetaan omaksi matriisikseen, arvo β₁ voidaan erottaa yhteiseksi tekijäksi matriisin eteen, jolloin saadaan:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Näin voidaan nyt kirjoittaa koko ryhmä uudelleen:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Jotta tämä yhtälö pätisi, oikean puolen matriisin täytyy olla vasemman puolen sarakematriisien lineaarikombinaatio, ja arvojen β₁, …, β_n täytyy olla sen kertoimia.

Näin on osoitettu, että jos matriisin β on määrä olla yhtälöryhmän ratkaisu, ryhmän oikean puolen, matriisin b, täytyy olla kerroinmatriisin sarakkeiden lineaarikombinaatio. Ja jos matriisin b sarake on matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatio, matriisilla A täytyy olla sama aste kuin matriisilla (A|b).

Lisäksi pätee, että jos rank(A) = rank(A|b) = k ja k on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, eli k = n, yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu. Jos taas k < n, yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua, ja niiden kirjoittamiseen tarvitaan n − k parametria.

Alkeisrivioperaatiot

Edellisestä yhtälöstä nähdään myös, että jos matriisille (A|b) tehdään alkeisrivioperaatioita, yhtälöryhmän ratkaisu ei muutu. Jos toiseen riviin lisättäisiin ensimmäinen rivi, saataisiin yhtälö:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Kun toinen rivi kirjoitetaan auki, saadaan:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Kerrotaan sulut auki:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Järjestellään nyt termejä hieman uudelleen:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

Ensimmäisessä sulussa on itse asiassa ensimmäinen rivi ja toisessa sulussa alkuperäinen toinen rivi. Tiedetään, että ensimmäinen rivi on yhtä suuri kuin arvo b₁ ja toinen rivi yhtä suuri kuin arvo b₂. Se tiedetään alkuperäisistä yhtälöistä. Ensimmäisen sulun paikalle voidaan siis kirjoittaa b₁ ja toisen paikalle b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

Vastaavasti koko rivi voidaan kertoa vakiolla c ≠ 0, eikä yhtälöryhmän pätevyys muutu. Muista kuitenkin, ettei sarakeoperaatioita saa tehdä.

Yhtälöryhmä, jolla on täsmälleen yksi ratkaisu

Esimerkin avulla nähdään, miten ratkaistaan yhtälöryhmä, jolla on täsmälleen yksi ratkaisu. Olkoon annettuna yhtälöryhmä:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

Matriisi A näyttää tältä:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Lasketaan nyt tämän matriisin aste:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Nähdään, että rank(A) = 3. Siitä seuraa myös, että rank(A|b) = 3, koska tyyppiä 3 × 4 olevan matriisin suurin mahdollinen aste on kolme. Yhtälöryhmässä on kolme tuntematonta, joten koko ryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu. Miten se löydetään?

Gaussin eliminointi

Gaussin eliminoinnissa yhtälöryhmän laajennettu matriisi muunnetaan porrasmuotoon. Kun matriisi on muunnettu porrasmuotoon, voidaan selvittää yhden muuttujan arvo. Kun yhden muuttujan arvo on löytynyt, sitä voidaan alkaa sijoittaa muihin yhtälöihin.

Matriisi (A|b) on muotoa:

$(A | b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Muunnetaan se porrasmuotoon. Tehdään samat muunnokset kuin edellisessä vaiheessa, mutta nyt ne tehdään myös neljännelle sarakkeelle:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Koska tehtiin alkeisrivioperaatioita, tämä matriisi kuvaa ekvivalenttia yhtälöryhmää – ryhmää, jolla on sama ratkaisujoukko. Kirjoitetaan yhtälöryhmä matriisimuodosta tavalliseen muotoon käyttäen viimeisen matriisin kertoimia:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Lähdetään liikkeelle viimeisestä yhtälöstä. Sen mukaan 78x₃ = 312. Mikä arvo muuttujalla x₃ täytyy olla? Se on yksinkertainen lineaarinen yhtälö, joten

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Saatiin ensimmäisen muuttujan, x₃:n, arvo. Se sijoitetaan toiseen yhtälöön. Saadaan yhtälö:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Lopuksi molemmat lasketut arvot sijoitetaan ensimmäiseen yhtälöön:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Muuttujan x₁ arvo on kaksi. Nyt ratkaisu on valmis. Voidaan kirjoittaa x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Kuten nähdään, Gaussin eliminointi on yksinkertainen mutta tehokas tapa ratkaista lineaarinen yhtälöryhmä.

Äärettömän monta ratkaisua

Jos rank(A) = rank(A|b) = k ja k on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, k < n, yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Otetaan yksinkertainen esimerkki:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Nähdään, että toinen yhtälö on ensimmäisen yhtälön kolminkertainen. Kun ensimmäinen yhtälö kerrotaan luvulla miinus kolme ja lisätään toiseen riviin, saadaan:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Nyt muuttujien lukumäärä on kaksi, n = 2, kerroinmatriisin aste on yksi, rank(A) = 1, ja laajennetun matriisin aste on myös yksi, rank(A|b) = 1. Pätee k < n, joten yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Miten nämä ratkaisut löydetään?

Tarkastellaan yhtälöitä. Toinen yhtälö toteutuu kaikilla arvoilla x₁, x₂, joten kiinnostava on vain ensimmäinen yhtälö. Itse asiassa kaikki parit x₁, x₂, jotka toteuttavat ensimmäisen yhtälön, muodostavat tämän yhtälöryhmän kaikkien ratkaisujen joukon. Ratkaistaan siis yhtälö 4x₁ + x₂ = 5. Yhtälö muokataan muotoon x₂ = 5 − 4x₁.

Käytetään apuna parametria. Valitaan parametri t. Yritetään nyt ilmaista pari x₁, x₂ parametrin t avulla niin, että voidaan kirjoittaa esimerkiksi, että kaikki muotoa (t, t + 2) olevat parit ovat yhtälöryhmän ratkaisuja. Siis esimerkiksi parit (1, 3) tai (14, 16). Tarkoitus on ilmaista yhden muuttujan arvo toisen muuttujan avulla niin, että tiedetään, että kun x₁:n arvo on mikä tahansa, x₂:n arvo on esimerkiksi kolme kertaa suurempi. Lähtökohdaksi valitaan x₁.

Asetetaan siis yhtälö t = x₁. Jos muuttujan x₁ arvo on t, mikä on muuttujan x₂ arvo? Se nähdään edellisestä yhtälöstä: x₂ = 5 − 4x₁. Siis jos x₁ = t, niin x₂ = 5 − 4t. Voidaan kirjoittaa, että kaikki muotoa (t, 5 − 4t) olevat parit ovat yhtälöryhmän ratkaisuja.

Tulos voidaan tarkistaa. Kun t:n paikalle sijoitetaan yksi, saadaan: x₁ = 1 ja x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Sijoitetaan nämä arvot yhtälöön: 4 · 1 + 1 = 5, yhtälö pätee.

Kun t:n paikalle sijoitetaan viisi, saadaan: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Yhtälöön sijoittamalla saadaan: 4 · 5 − 15 = 5. Pätee.

Yleinen ja yksittäisratkaisu

Yhtälöryhmän ratkaisua, joka on kirjoitettu parametrien avulla, sanotaan yleiseksi ratkaisuksi. Konkreettista ratkaisua, eli sitä, joka saadaan sijoittamalla parametrien paikalle konkreettisia lukuja, sanotaan yksittäisratkaisuksi.

Edellisen esimerkin mukaan siis (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) on yhtälöryhmän yleinen ratkaisu, ja (1, 1) sekä (5, −15) ovat yksittäisratkaisuja.

Jos kerroinmatriisi on A ja laajennettu matriisi (A|b) ja niiden asteet ovat yhtä suuret, rank(A) = rank(A|b) = k, yleisen ratkaisun ilmaisemiseen tarvitaan n − k parametria. Huomaa, että jos n = k, parametreja tarvitaan nolla. Silloin yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu – parametria ei tarvita lainkaan.

Esimerkki

Ratkaise seuraava lineaarinen yhtälöryhmä:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Lasketaan ensin matriisien A ja (A|b) asteet. Muunnetaan laajennettu matriisi porrasmuotoon, jolloin molempien matriisien aste selviää. Aloitetaan muunnokset. (Kerrotaan ensimmäinen rivi kahdella, sitten lasketaan ensimmäinen ja toinen rivi yhteen ja vähennetään tulos kolmannesta rivistä. Sen jälkeen vähennetään toisesta rivistä ensimmäinen rivi ja lopuksi jaetaan ensimmäinen rivi takaisin kahdella.)

$\begin{array}{rcl} (A | b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Tästä viimeisestä matriisista nähdään jo, että rank(A) = rank(A|b) = k = 2. Tuntemattomia on n = 4, joten tarvitaan n − k = 2 parametria. Kirjoitetaan yhtälöt viimeisen matriisin mukaan:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

Toisesta yhtälöstä saadaan

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Valitaan ensimmäinen parametri, t = x₃. Silloin voidaan kirjoittaa x₁ = −6t. Tämä voidaan sijoittaa ensimmäiseen yhtälöön:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Otetaan mukaan toinen parametri, s = x₄. Silloin voidaan kirjoittaa

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Näin saadaan yhtälöryhmän yleinen ratkaisu:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Kokeillaan joitakin yksittäisratkaisuja. Esimerkiksi s = t = 0. Silloin saadaan: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Kun sijoitetaan alkuperäisiin yhtälöihin:

saadaan yhtälöt:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

Kun nollatermit poistetaan ja murtoluvut kerrotaan, saadaan:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Kokeillaan toista yksittäisratkaisua: s = 2, t = 1. Silloin saadaan:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Sijoitetaan yhtälöihin:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Sievennetään:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Ja lopuksi saadaan:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Näyttää siltä, että saatu yleinen ratkaisu on oikein.

Luvut: Lineaariset yhtälöryhmät, Cramerin sääntö, Homogeeniset yhtälöryhmät

« Edellinen: Determinantit

Seuraava: Cramerin sääntö »