Systèmes d’équations linéaires

Un système d’équations linéaires est un ensemble de m équations linéaires à n inconnues. Résoudre le système, c’est trouver les valeurs que l’on peut substituer à nos n inconnues pour que toutes les équations soient vérifiées.

Définition d’un système d’équations linéaires

Tu as sûrement déjà rencontré un système simple de la forme

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

où a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ sont des nombres réels donnés et où x et y sont les inconnues. Ce système peut avoir un nombre de solutions variable : aucune, une seule ou une infinité, comme une équation linéaire classique. Pour un système d’équations linéaires, la question du nombre de solutions et de leur recherche est plus délicate que pour une simple équation du premier degré.

Définition d’un système d’équations linéaires :

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

où a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m sont des nombres réels. Ce système s’appelle alors un système de m équations linéaires à n inconnues x₁, …, x_n, de coefficients a₁₁, …, a_mn. Voici un exemple concret de système d’équations linéaires :

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Mais lorsqu’un coefficient a_ij est négatif, on a l’habitude de l’écrire sous cette forme :

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

On a pourtant toujours a₁₂ = −2 et a₂₄ = −10.

Écriture matricielle

On peut transformer ce système en une écriture matricielle. On définit en tout trois matrices : une pour les coefficients, une pour le second membre des équations et une pour les inconnues elles-mêmes. Les matrices se présentent ainsi :

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

La matrice A contient les coefficients des équations de départ et s’appelle la « matrice du système ». La matrice b contient les seconds membres des équations et la matrice x contient les inconnues. On peut alors écrire tout le système sous la forme d’une seule équation :

$A x = b$

Cette équation a bien un sens : à gauche, on a le produit de deux matrices, à droite une matrice, et leurs dimensions sont compatibles. Essayons de calculer le membre de gauche. On multiplie une matrice de taille m × n par une matrice de taille n × 1, donc la matrice obtenue est de taille m × 1 : elle a m lignes et une colonne. Jusque-là, tout va bien.

Appliquons maintenant l’algorithme habituel de multiplication des matrices : on commence par la première ligne de la matrice A et par la première colonne de la matrice x (il n’y en a pas d’autre). On obtient :

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Cette somme est le premier élément de la nouvelle matrice, c’est-à-dire la valeur b₁. Si l’on remplace dans l’équation, on a :

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

On a obtenu exactement la première équation de notre système. On poursuivrait de la même façon pour les autres lignes. Définissons encore la matrice augmentée du système : c’est la matrice du système à laquelle on ajoute la matrice b de cette façon :

$B = [A ∣ b] = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Nous allons nous intéresser ensuite au rang de cette matrice augmentée. Le rang de la matrice du système non augmentée se note rg(A), celui de la matrice augmentée rg[A ∣ b]. Quel est le lien entre ces deux rangs ? Si l’on ajoute la colonne b à la matrice A, deux situations sont possibles : si cette nouvelle colonne est une combinaison linéaire des colonnes de la matrice A, le rang ne change pas. Si ce n’est pas une combinaison linéaire, le rang augmente de un.

Théorème de Rouché-Fontené

Le rang de la matrice augmentée va être important pour nous, car il existe un théorème essentiel, le théorème de Rouché-Fontené : Le système d’équations Ax = b a une solution si et seulement si le rang de la matrice du système est égal au rang de la matrice augmentée du système : rg(A) = rg[A ∣ b].

Essayons de montrer que ce théorème est vrai au moins dans un sens : si x = β est solution de l’équation Ax = b, alors rg(A) = rg[A ∣ b]. Si ces deux rangs sont égaux, la colonne b doit être une combinaison linéaire des colonnes de la matrice A. Écrivons cela en détail. La matrice β a la forme :

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Et nous affirmons que, si l’on remplace x₁ par β₁, etc., toutes les équations du système sont vérifiées :

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Réécrivons maintenant un peu les équations. Si l’on regarde la première colonne, on voit qu’on y trouve toujours les valeurs a₁₁, a₂₁, …, a_m1, qui sont toutes multipliées par la même valeur β₁. Si l’on isole cette colonne dans une matrice à part, on peut mettre en facteur la valeur β₁ devant la matrice, ce qui donne :

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

On peut maintenant réécrire ainsi tout le système :

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Pour que cette égalité soit vraie, la matrice du membre de droite doit être une combinaison linéaire des matrices colonnes du membre de gauche, et les valeurs β₁, …, β_n en sont les coefficients.

Nous avons donc démontré que, si la matrice β est solution du système d’équations, alors le second membre du système, la matrice b, doit être une combinaison linéaire des colonnes de la matrice du système. Et si la colonne b est une combinaison linéaire des colonnes de la matrice A, alors la matrice A a nécessairement le même rang que la matrice [A ∣ b].

De plus, si rg(A) = rg[A ∣ b] = k et que k est égal au nombre d’inconnues, c’est-à-dire k = n, alors le système a une solution unique. Si k < n, le système a une infinité de solutions et, pour les écrire, il faut n − k paramètres.

Opérations élémentaires sur les lignes

On voit aussi, d’après l’équation précédente, que si l’on effectue des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice [A ∣ b], la solution du système d’équations ne change pas. Si l’on ajoutait à la deuxième ligne la première ligne, on obtiendrait l’équation :

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

En écrivant en détail la deuxième ligne, on obtient :

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Développons les parenthèses :

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Réorganisons maintenant un peu les termes :

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

Dans la première parenthèse, on a en réalité la première ligne et, dans la deuxième, la deuxième ligne d’origine. On sait que la première ligne est égale à la valeur b₁ et que la deuxième est égale à la valeur b₂. On le sait grâce aux équations de départ. On peut donc écrire b₁ à la place de la première parenthèse et b₂ à la place de la deuxième :

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

De même, on peut multiplier toute une ligne par une constante c ≠ 0 sans changer la validité du système d’équations. Attention cependant : on ne peut pas effectuer d’opérations sur les colonnes.

Système à une solution unique

Sur un exemple, voyons comment résoudre un système qui a exactement une solution. Considérons le système d’équations suivant :

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

La matrice A se présente ainsi :

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Calculons maintenant le rang de cette matrice :

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

On voit que rg(A) = 3. Il en découle aussi que rg[A ∣ b] = 3, car une matrice de taille 3 × 4 a un rang d’au plus trois. Le système a trois inconnues, donc il a exactement une solution. Comment la trouver ?

Méthode du pivot de Gauss

La méthode du pivot de Gauss consiste à transformer la matrice augmentée du système en une forme échelonnée. En mettant la matrice sous forme échelonnée, on pourra déterminer la valeur d’une inconnue. Une fois la valeur d’une inconnue trouvée, on peut commencer à la substituer dans les autres équations.

La matrice [A ∣ b] a la forme :

$[A ∣ b] = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Mettons-la sous forme échelonnée. On effectue les mêmes opérations que dans l’étape précédente, mais cette fois on les applique aussi à la quatrième colonne :

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Comme nous avons effectué des opérations élémentaires sur les lignes, cette matrice décrit un système d’équations équivalent, c’est-à-dire un système qui a le même ensemble de solutions. Réécrivons le système de l’écriture matricielle à l’écriture usuelle, en utilisant les coefficients de notre dernière matrice :

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Partons maintenant de la dernière équation. Elle nous dit que 78x₃ = 312. Quelle valeur doit avoir x₃ ? C’est une simple équation linéaire, donc

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

On a la valeur de la première inconnue, x₃. On la substitue dans la deuxième équation. On obtient l’équation :

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Enfin, on substitue les deux valeurs calculées dans la première équation :

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

La valeur de l’inconnue x₁ est égale à deux. On a maintenant la solution complète. On peut écrire que x = (x₁ ; x₂ ; x₃) = (2 ; 5 ; 4). Comme on le voit, la méthode du pivot de Gauss est une méthode simple mais efficace pour résoudre un système d’équations linéaires.

Une infinité de solutions

Si rg(A) = rg[A ∣ b] = k et que k est inférieur au nombre d’inconnues, k < n, alors le système a une infinité de solutions. Prenons un exemple simple :

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

On voit que la deuxième équation est égale au triple de la première. Si l’on multiplie la première équation par moins trois et qu’on l’ajoute à la deuxième ligne, on obtient :

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Ici, le nombre d’inconnues est égal à deux, n = 2, le rang de la matrice du système est égal à un, rg(A) = 1, et le rang de la matrice augmentée est lui aussi égal à un, rg[A ∣ b] = 1. On a k < n, donc le système a une infinité de solutions. Comment les trouver ?

Regardons les équations. La deuxième équation est vérifiée pour tous les x₁, x₂, donc seule la première équation nous intéresse. En fait, tous les couples x₁, x₂ qui vérifient la première équation forment l’ensemble de toutes les solutions du système. On résout donc l’équation 4x₁ + x₂ = 5. On la transforme en x₂ = 5 − 4x₁.

On s’aide ensuite d’un paramètre. On choisit un paramètre t. Nous allons maintenant essayer d’exprimer le couple x₁, x₂ à l’aide du paramètre t, de sorte que l’on puisse écrire, par exemple, que tous les couples de la forme (t ; t + 2) sont solutions du système. Donc des couples comme (1 ; 3) ou (14 ; 16). Le but est d’exprimer la valeur d’une inconnue à l’aide d’une autre, pour savoir que, lorsque x₁ prend telle ou telle valeur, x₂ vaut par exemple le triple. Comme point de départ, on choisit x₁.

On pose donc l’égalité t = x₁. Si l’inconnue x₁ vaut t, quelle valeur a l’inconnue x₂ ? On le voit dans l’équation précédente : elle vaut x₂ = 5 − 4x₁. Donc si x₁ = t, alors x₂ = 5 − 4t. On peut donc écrire que tous les couples de la forme (t ; 5 − 4t) sont solutions du système d’équations.

On peut le vérifier. Si l’on remplace t par un, on a : x₁ = 1 et x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. On remplace ces valeurs dans l’équation : 4 · 1 + 1 = 5, l’équation est vérifiée.

Si l’on remplace t par cinq, on a : x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Après substitution dans l’équation, on a : 4 · 5 − 15 = 5. C’est vérifié.

Solution générale et solution particulière

Une solution d’un système d’équations écrite à l’aide de paramètres s’appelle la solution générale. Une solution précise, c’est-à-dire obtenue en remplaçant les paramètres par des nombres concrets, s’appelle une solution particulière.

Donc, dans l’exemple précédent : (x₁ ; x₂) = (t ; 5 − 4t) est la solution générale du système d’équations, tandis que (1 ; 1) et (5 ; −15) sont des solutions particulières.

Si l’on a la matrice du système A et la matrice augmentée du système [A ∣ b] et que leurs rangs sont égaux, rg(A) = rg[A ∣ b] = k, alors pour exprimer la solution générale, il faut n − k paramètres. Remarque que, si n = k, il faut zéro paramètre. C’est le cas où le système a exactement une solution : aucun paramètre n’est alors nécessaire.

Exemple

Résous le système d’équations linéaires suivant :

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Pour commencer, on calcule le rang des matrices A et [A ∣ b]. On met la matrice augmentée sous forme échelonnée, ce qui nous donne le rang des deux matrices. C’est parti. (On multiplie la première ligne par deux, puis on additionne la première et la deuxième ligne et on soustrait ce résultat de la troisième ligne. Ensuite, on soustrait la première ligne de la deuxième et, pour finir, on divise la première ligne par deux pour revenir en arrière.)

$\begin{array}{rcl} [A ∣ b] = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Cette dernière matrice montre déjà que rg(A) = rg[A ∣ b] = k = 2. Le nombre d’inconnues est n = 4, donc il nous faudra n − k = 2 paramètres. Écrivons les équations correspondant à la dernière matrice :

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

De la deuxième équation, on tire

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

On choisit le premier paramètre, t = x₃. On peut alors écrire que x₁ = −6t. On peut substituer cela dans la première équation :

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

On fait intervenir le deuxième paramètre, s = x₄. On peut alors écrire que

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

On obtient ainsi la solution générale du système :

$(x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (- 6 t; - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s; t; s)$

On peut essayer quelques solutions particulières. Par exemple s = t = 0. On obtient alors : $(x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (0; - \frac{1}{2}; 0; 0)$ . Après substitution dans les équations de départ :

on obtient les équations :

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

En supprimant les termes nuls et en multipliant les fractions, on obtient :

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Essayons une autre solution particulière : s = 2, t = 1. On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

On substitue dans les équations :

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

On simplifie :

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Et finalement, on obtient :

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Il semble que la solution générale trouvée soit correcte.

Chapitres: Systèmes d’équations linéaires, Règle de Cramer, Systèmes homogènes d’équations linéaires

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