Ortak Çarpan Parantezine Alma

Ortak çarpan parantezine almaya başlamadan önce parantezi açmayı inceleyelim; çünkü ikisi birbiriyle çok yakından ilgilidir. Hatta ortak çarpan parantezine almanın, parantezi açmanın tam tersi olduğunu bile söyleyebiliriz.

Parantezi Açma

Parantezi açma basit bir işlemdir; bir örnekle gösterelim: 3 · (5 + 8) ifadesini hesaplayalım. İki yol izleyebiliriz. Parantezin içini toplayıp 3 · 13 bulabiliriz, çünkü 5 + 8 = 13.

İkinci yol, parantezi açmaktır. Yani parantezin önündeki sayıyı, 3’ü alırız ve bununla parantezin içindeki iki sayıyı da çarparız. Parantezdeki artı işareti kalır. Şunu elde ederiz:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

İki yol da aynı sonuca götürür: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Parantezi Açmak Neden İşe Yarar?

Bu yola neden başvurabiliyoruz, parantezi açmak neden işe yarıyor? Çarpımı, uzun yazılmış bir toplam olarak düşünelim. Örneğin 3 · 7 yazdığımızda, 7 sayısını üç kez toplamak istediğimizi söylemiş oluruz, yani 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Aynı şekilde parantezli bir örneği de toplam olarak yazabiliriz: 3 · (5 + 8), (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8) ile aynıdır. Toplamada sıra önemli olmadığı için parantezleri kaldırıp 5’leri ve 8’leri yan yana getirebiliriz: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Burada bu ifadeyi çarpma kullanarak 3 · 5 + 3 · 8 biçiminde yazabildiğimizi görüyoruz; parantezi açarken yaptığımız da tam olarak buydu.

Parantezi Açma Örnekleri

1. 5 · (4 + 7) ifadesinde parantezi aç. Yine parantezin içindeki sayıları 5 ile çarparız ve 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7 elde ederiz.
2. 6 · (x + 4) ifadesinde parantezi aç. Bilinmeyenden çekinmeyelim, onu da 6 ile çarpalım. Şunu elde ederiz: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. x · (4 + 173) ifadesinde parantezi aç. Bu kez bilinmeyen parantezin önünde, bu yüzden parantezin içindeki iki sayıyı da x ile çarparız. Şunu elde ederiz: x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. 4x · (2x + 7) ifadesinde parantezi aç. Bu kez bilinmeyen hem parantezin önünde hem de içinde, ayrıca parantezin önünde daha karmaşık bir ifade var. Bu da sorun değil, parantezin içini yine 4x ile şöyle çarparız: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Basit Ortak Çarpan Parantezine Alma

Ortak çarpan parantezine alma, parantezi açmanın tersi bir işlemdir. Başlangıçta örneğin 10x + 5 ifadesi olsun. İki toplananı da makul bir biçimde bölebileceğimiz bir sayı bulursak, bu sayıyı ortak çarpan parantezine alabiliriz. Bizim ifademizde bu sayı 5’tir, çünkü 10x / 5 = 2x ve 5 / 5 = 1. Böylece şunu yazabiliriz:

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

5 · (2x + 1) parantezini yeniden açarsak yine 10x + 5 elde ederiz. Ortak çarpan parantezine almanın amacı genellikle verilen ifadeyi sadeleştirmek ya da çarpım biçimine getirmektir; böylece onu bir kesirde sadeleştirebiliriz.

Bilinmeyeni Ortak Çarpan Parantezine Alma

Çoğu zaman yalnızca bir sayıyı değil, bilinmeyenin kendisini de ortak çarpan parantezine alırız. Yani 3x² + 7x ifadesi varsa, buradan x’i ortak çarpan parantezine alabiliriz; yani iki terimi de x’e böler, sonucu parantez içine yazar ve parantezi x ile çarparız. 3x² + 7x = x · (3x + 7) elde ederiz.

Genellikle “en fazla” şeyi ortak çarpan parantezine almaya çalışırız. 8x² + 12x ifadesinde yalnızca x’i ortak çarpan parantezine alıp 8x² + 12x = x · (8x + 12) yazabiliriz; ama parantezden 4 sayısını da ortak çarpan parantezine alabileceğimizi görüyoruz. Bunu şimdi, sonradan yapabiliriz ve şunu elde ederiz: x · (4 · (2x + 3)). Dıştaki parantezleri kaldırabiliriz ve şunu elde ederiz: 4x · (2x + 3).

Aynı sonuca, asıl 8x² + 12x ifadesinden doğrudan 4x’i ortak çarpan parantezine alsaydık da ulaşırdık. Bunu ayrıntılı yazsaydık şunu elde ederdik:

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Daha Karmaşık İfadelerde Ortak Çarpan Parantezine Alma

Şimdiye kadar yalnızca iki toplananlı ifadelerden ortak çarpan parantezine aldık. Ama daha uzun ifadelerden de alabiliriz. Örneğin 7x³ + 5x² + 2x ifadesinden x’i ortak çarpan parantezine alıp x · (7x² + 5x + 2) elde ederiz.

Her zaman yalnızca güzel bir sayıyı da almamız gerekmez; her şeyi ortak çarpan parantezine alabiliriz. Örneğin 6x + 7 ifadesinden 2 sayısını alabiliriz, ama çirkin bir sonuç çıkar, çünkü iki terimi de 2’ye bölmemiz gerekir. 6x için sorun yok, çünkü 6x / 2 = 3x; ama 7 sayısında pek güzel çıkmaz: 7 / 2 = 3,5. Sonuçta şu ifadeyi elde ederiz: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Çözümlü Örnekler

• 25x + 45 ifadesini güzelce ortak çarpan parantezine al. İlk bakışta 5 sayısını alabileceğimiz görülüyor, böylece 5 · (5x + 9) elde ederiz.

• Kesri sadeleştir

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Önce kesrin payında x’i ortak çarpan parantezine alırız. Böylece pay x · (3x + 7) olur. Artık bütün kesirde x’i sadeleştirebiliriz.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• −2x² − 8x ifadesini güzelce ortak çarpan parantezine al. Burada ilk kez negatif sayılar var. Bu hiç sorun değil; pozitif sayıları ortak çarpan parantezine aldığımız gibi negatifleri de alabiliriz. Hemen −2x’i birden alabiliriz. Şunu elde ederiz:

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$