Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von m linearen Gleichungen mit n Variablen. Beim Lösen des Systems bestimmen wir Werte, die wir für unsere n Variablen einsetzen können, sodass alle Gleichungen erfüllt sind.

Definition eines linearen Gleichungssystems

Du bist bestimmt schon einem einfachen System der folgenden Art begegnet:

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

wobei a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ gegebene reelle Zahlen sind und x und y Variablen. Dieses Gleichungssystem kann unterschiedlich viele Lösungen haben – keine, eine oder unendlich viele, ähnlich wie eine gewöhnliche lineare Gleichung. Bei einem System linearer Gleichungen ist die Frage nach der Anzahl der Lösungen und ihrer Bestimmung schwieriger als bei einer einfachen linearen Gleichung.

Definition eines linearen Gleichungssystems:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

wobei a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m reelle Zahlen sind. Dieses System heißt dann lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Unbekannten x₁, …, x_n und den Koeffizienten a₁₁, …, a_mn. Ein konkretes Beispiel für ein lineares Gleichungssystem könnte so aussehen:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Ist aber ein a_ij negativ, schreibt man es üblicherweise in dieser Form:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Dabei gilt aber weiterhin a₁₂ = −2 und a₂₄ = −10.

Matrixschreibweise

Dieses System können wir in die Matrixform bringen. Wir definieren insgesamt drei Matrizen, eine für die Koeffizienten, eine für die rechten Seiten der Gleichungen und eine für die Variablen selbst. Die Matrizen sehen dann so aus:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

Die Matrix A enthält die Koeffizienten der ursprünglichen Gleichungen und heißt „Koeffizientenmatrix“, die Matrix b enthält die rechten Seiten der Gleichungen und die Matrix x die Variablen. Dann können wir das ganze Gleichungssystem als eine einzige Gleichung schreiben:

$A x = b$

Diese Gleichung ist sinnvoll, denn auf der linken Seite steht ein Produkt zweier Matrizen und auf der rechten Seite eine Matrix, und die Dimensionen passen zusammen. Wir können versuchen, die linke Seite auszumultiplizieren. Wir multiplizieren eine Matrix vom Typ m × n mit einer Matrix vom Typ n × 1, also hat die Ergebnismatrix den Typ m × 1, besitzt m Zeilen und eine Spalte. Bis hierhin ist alles in Ordnung.

Nun führen wir den üblichen Algorithmus der Matrizenmultiplikation durch: Wir beginnen mit der ersten Zeile der Matrix A und der ersten Spalte der Matrix x (eine andere Spalte gibt es dort nicht). Wir erhalten:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Mit dieser Summe haben wir das erste Element der neuen Matrix erhalten, also den Wert b₁. Wenn wir alles in die Gleichung einsetzen, ergibt sich:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Wir haben genau die erste Gleichung unseres Gleichungssystems erhalten. Auf dieselbe Weise würden wir bei den übrigen Zeilen fortfahren. Außerdem definieren wir die erweiterte Koeffizientenmatrix; das ist die Koeffizientenmatrix, an die wir die Matrix b anfügen, und zwar so:

$B = (A | b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Als Nächstes interessiert uns der Rang dieser erweiterten Koeffizientenmatrix. Den Rang der ursprünglichen, nicht erweiterten Koeffizientenmatrix bezeichnen wir mit Rang(A), den Rang der erweiterten mit Rang(A|b). Wie hängen diese Ränge zusammen? Wenn wir die Spalte b an die Matrix A anfügen, können zwei Fälle eintreten: Ist die neue Spalte eine Linearkombination der Spalten der Matrix A, ändert sich der Rang nicht. Ist sie keine Linearkombination, dann ist der Rang um eins größer.

Satz von Kronecker-Capelli

Der Rang der erweiterten Matrix ist für uns wichtig, denn es gilt ein wichtiger Satz, der Satz von Kronecker-Capelli: Das Gleichungssystem Ax = b hat genau dann eine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist: Rang(A) = Rang(A|b).

Wir versuchen zu zeigen, dass dieser Satz zumindest in einer Richtung gilt – wenn x = β eine Lösung der Gleichung Ax = b ist, dann gilt Rang(A) = Rang(A|b). Wenn diese Ränge gleich sind, muss die Spalte b eine Linearkombination der Spalten der Matrix A sein. Wir schreiben es aus. Die Matrix β hat die Form:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Und wir behaupten: Setzen wir für x₁ den Wert β₁ ein usw., dann sind alle Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Nun schreiben wir die Gleichungen etwas um. Wenn wir uns die erste Spalte ansehen, stehen dort immer die Werte a₁₁, a₂₁, …, a_m1, die wir mit demselben Wert β₁ multiplizieren. Schreiben wir die Spalte als eigene Matrix, können wir den Wert β₁ vor die Matrix ausklammern und erhalten:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Nun können wir das ganze System so umschreiben:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Damit diese Gleichung gilt, muss die Matrix auf der rechten Seite eine Linearkombination der Spaltenmatrizen auf der linken Seite sein, und die Werte β₁, …, β_n müssen deren Koeffizienten sein.

Damit haben wir bewiesen: Soll die Matrix β eine Lösung des Gleichungssystems sein, dann muss die rechte Seite des Systems, die Matrix b, eine Linearkombination der Spalten der Koeffizientenmatrix sein. Und ist die Spalte aus der Matrix b eine Linearkombination der Spalten der Matrix A, dann muss die Matrix A denselben Rang haben wie die Matrix (A|b).

Außerdem gilt: Wenn Rang(A) = Rang(A|b) = k und k gleich der Anzahl der Unbekannten ist, also k = n, dann hat das System genau eine Lösung. Gilt k < n, dann hat das System unendlich viele Lösungen, und um sie aufzuschreiben, brauchen wir n − k Parameter.

Elementare Zeilenumformungen

Aus der vorigen Gleichung ist außerdem ersichtlich, dass sich die Lösung des Gleichungssystems nicht ändert, wenn wir in der Matrix (A|b) elementare Zeilenumformungen durchführen. Würden wir zur zweiten Zeile die erste Zeile addieren, erhielten wir die Gleichung:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Wenn wir die zweite Zeile ausschreiben, erhalten wir:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Wir multiplizieren die Klammern aus:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Nun ordnen wir es ein wenig um:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

In der ersten Klammer steht eigentlich die erste Zeile und in der zweiten Klammer die ursprüngliche zweite Zeile. Wir wissen, dass die erste Zeile gleich dem Wert b₁ ist und die zweite Zeile gleich dem Wert b₂. Das wissen wir aus den ursprünglichen Gleichungen. Also können wir für die erste Klammer b₁ schreiben und für die zweite b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

Ebenso können wir eine ganze Zeile mit einer Konstanten c ≠ 0 multiplizieren, ohne dass sich die Gültigkeit des Gleichungssystems ändert. Beachte aber, dass wir keine Spaltenumformungen durchführen dürfen.

Gleichungssystem mit einer Lösung

An einem Beispiel zeigen wir, wie man ein System löst, das genau eine Lösung hat. Betrachten wir folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

Die Matrix A sieht so aus:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Nun berechnen wir den Rang dieser Matrix:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Wir sehen, dass Rang(A) = 3 ist. Daraus folgt auch Rang(A|b) = 3, denn eine Matrix vom Typ 3 × 4 kann höchstens den Rang drei haben. Das System hat drei Unbekannte, also hat das gesamte Gleichungssystem genau eine Lösung. Wie finden wir sie?

Gaußsches Eliminationsverfahren

Das gaußsche Eliminationsverfahren besteht darin, die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform zu bringen. Durch die Umformung auf Zeilenstufenform können wir den Wert einer Variablen bestimmen. Sobald wir den Wert einer Variablen kennen, können wir ihn in die weiteren Gleichungen einsetzen.

Die Matrix (A|b) hat die Form:

$(A | b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Wir bringen sie auf Zeilenstufenform. Wir führen dieselben Umformungen durch wie im vorigen Schritt, wenden sie diesmal aber auch auf die vierte Spalte an:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Weil wir elementare Zeilenumformungen durchgeführt haben, beschreibt diese Matrix ein äquivalentes Gleichungssystem – ein System, das dieselbe Lösungsmenge hat. Wir schreiben das System aus der Matrixschreibweise in die gewöhnliche Form um, wobei wir die Koeffizienten aus unserer letzten Matrix verwenden:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Nun gehen wir von der letzten Gleichung aus. Sie sagt uns, dass 78x₃ = 312 ist. Welchen Wert muss x₃ haben? Das ist eine einfache lineare Gleichung, also gilt

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Wir kennen den Wert der ersten Variablen, x₃. Diesen Wert setzen wir in die zweite Gleichung ein. Wir erhalten die Gleichung:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Und schließlich setzen wir beide berechneten Werte in die erste Gleichung ein:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Die Variable x₁ hat den Wert zwei. Damit haben wir die vollständige Lösung. Wir können schreiben: x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Wie du siehst, ist das gaußsche Eliminationsverfahren eine einfache, aber wirkungsvolle Methode, ein lineares Gleichungssystem zu lösen.

Unendlich viele Lösungen

Ist Rang(A) = Rang(A|b) = k und k kleiner als die Anzahl der Unbekannten, k < n, dann hat das System unendlich viele Lösungen. Betrachten wir ein einfaches Beispiel:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Wir sehen, dass die zweite Gleichung das Dreifache der ersten Gleichung ist. Wenn wir die erste Gleichung mit minus drei multiplizieren und zur zweiten Zeile addieren, erhalten wir:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Jetzt ist die Anzahl der Variablen gleich zwei, n = 2, der Rang der Koeffizientenmatrix ist eins, Rang(A) = 1, und der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls eins, Rang(A|b) = 1. Es gilt k < n, also hat das System unendlich viele Lösungen. Wie finden wir diese Lösungen?

Wir schauen uns die Gleichungen an. Die zweite Gleichung ist für alle x₁, x₂ erfüllt, daher interessiert uns nur die erste Gleichung. Alle Paare x₁, x₂, die die erste Gleichung erfüllen, bilden nämlich die Menge aller Lösungen des gegebenen Gleichungssystems. Wir berechnen also die Lösung der Gleichung 4x₁ + x₂ = 5. Wir formen die Gleichung um zu x₂ = 5 − 4x₁.

Als Nächstes helfen wir uns mit einem Parameter. Wir wählen einen Parameter t. Wir wollen nun versuchen, das Paar x₁, x₂ mithilfe des Parameters t so auszudrücken, dass wir zum Beispiel schreiben können: Alle Paare der Form (t, t + 2) sind Lösungen des Systems. Also Paare wie (1, 3) oder (14, 16). Es geht darum, den Wert einer Variablen durch eine andere Variable auszudrücken, sodass wir wissen: Wenn x₁ den und den Wert hat, dann ist der Wert von x₂ zum Beispiel dreimal so groß. Als Ausgangspunkt wählen wir x₁.

Wir setzen also t = x₁. Welchen Wert hat die Variable x₂, wenn die Variable x₁ den Wert t hat? Das sehen wir an der vorigen Gleichung: Sie hat den Wert x₂ = 5 − 4x₁. Also gilt: Wenn x₁ = t, dann x₂ = 5 − 4t. Wir können somit schreiben, dass alle Paare der Form (t, 5 − 4t) Lösungen des Gleichungssystems sind.

Wir können das überprüfen. Setzen wir für t eins ein, erhalten wir: x₁ = 1 und x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Diese Werte setzen wir in die Gleichung ein: 4 · 1 + 1 = 5, die Gleichung stimmt.

Setzen wir für t fünf ein, erhalten wir: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Nach dem Einsetzen in die Gleichung erhalten wir: 4 · 5 − 15 = 5. Stimmt.

Allgemeine und spezielle Lösung

Eine Lösung des Gleichungssystems, die mithilfe von Parametern angegeben ist, nennen wir allgemeine Lösung. Eine konkrete Lösung, also wenn wir für die Parameter konkrete Zahlen einsetzen, nennen wir spezielle (partikuläre) Lösung.

Aus dem vorigen Beispiel also: (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) ist die allgemeine Lösung des Gleichungssystems, (1, 1) und (5, −15) sind spezielle Lösungen.

Haben wir die Koeffizientenmatrix A und die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) und sind ihre Ränge gleich, Rang(A) = Rang(A|b) = k, dann brauchen wir zur Angabe der allgemeinen Lösung n − k Parameter. Beachte: Ist n = k, dann brauchen wir null Parameter. Das ist der Fall, in dem das System genau eine Lösung hat – dann wird kein Parameter benötigt.

Beispiel

Löse das folgende lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Zuerst berechnen wir den Rang der Matrizen A und (A|b). Wir bringen die erweiterte Matrix auf Zeilenstufenform, woraus wir den Rang beider Matrizen ablesen. Los geht's mit den Umformungen. (Die erste Zeile multiplizieren wir mit zwei, dann addieren wir die erste und die zweite Zeile und subtrahieren dieses Ergebnis von der dritten Zeile. Danach subtrahieren wir von der zweiten Zeile die erste Zeile und zum Schluss dividieren wir die erste Zeile wieder durch zwei.)

$\begin{array}{rcl} (A | b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Aus dieser letzten Matrix sehen wir bereits, dass Rang(A) = Rang(A|b) = k = 2 ist. Die Anzahl der Unbekannten ist dabei n = 4, also brauchen wir n − k = 2 Parameter. Wir schreiben die Gleichungen nach der letzten Matrix auf:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Wir wählen den ersten Parameter, t = x₃. Dann können wir schreiben, dass x₁ = −6t ist. Das können wir in die erste Gleichung einsetzen:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Jetzt kommt der zweite Parameter ins Spiel, s = x₄. Dann können wir schreiben:

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

So erhalten wir die allgemeine Lösung des Systems:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Wir können einige spezielle Lösungen ausprobieren. Zum Beispiel s = t = 0. Dann erhalten wir: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Nach dem Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen:

erhalten wir die Gleichungen:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

Nach dem Weglassen der Nullen und dem Ausmultiplizieren der Brüche erhalten wir:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Probieren wir eine weitere spezielle Lösung: s = 2, t = 1. Dann erhalten wir:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Wir setzen in die Gleichungen ein:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Wir formen um:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Und zum Schluss erhalten wir:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Die resultierende allgemeine Lösung scheint also richtig zu sein.

Kapitel: Lineare Gleichungssysteme, Cramersche Regel, Homogene lineare Gleichungssysteme

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