Lineære likningssett

Et lineært likningssett er en mengde av m lineære likninger med n variabler. Når vi løser likningssettet, får vi verdier som vi kan sette inn for de n variablene våre slik at alle likningene stemmer.

Definisjon av et lineært likningssett

Du har sikkert allerede møtt et enkelt likningssett av typen

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

der a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ er oppgitte reelle tall og x og y er variabler. Dette likningssettet kan ha ulikt antall løsninger — ingen, én eller uendelig mange, på samme måte som en vanlig lineær likning. For et lineært likningssett er spørsmålet om antall løsninger og hvordan vi finner dem, mer komplisert enn for en enkel lineær likning.

Definisjon av et lineært likningssett:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

der a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m er reelle tall. Dette likningssettet kalles et system av m lineære likninger med n ukjente x₁, …, x_n og koeffisientene a₁₁, …, a_mn. Et konkret eksempel på et lineært likningssett kunne se slik ut:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Men hvis noen a_ij er negative, er det vanlig å skrive det på denne formen:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Det gjelder fortsatt at a₁₂ = −2 og a₂₄ = −10.

Matriseform

Dette likningssettet kan vi overføre til matriseform. Vi definerer til sammen tre matriser, én for koeffisientene, én for høyresiden i likningene og én for selve variablene. Matrisene ser da slik ut:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

Matrisen A inneholder koeffisientene i de opprinnelige likningene, og vi kaller den «koeffisientmatrisen», matrisen b inneholder høyresidene i likningene og matrisen x inneholder variablene. Da kan vi skrive hele likningssettet som likningen

$A x = b$

Denne likningen gir mening, for på venstre side har vi et produkt av to matriser og på høyre side en matrise, og dimensjonene deres stemmer. Vi kan prøve å multiplisere ut venstre side. Vi multipliserer en matrise av typen m × n med en matrise av typen n × 1, så den resulterende matrisen blir av typen m × 1, den får m rader og én kolonne. Så langt er alt i orden.

Nå utfører vi den vanlige algoritmen for multiplikasjon av matriser, vi begynner med den første raden i matrisen A og den første kolonnen i matrisen x (det finnes ingen annen kolonne der). Vi får:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Med denne summen har vi fått det første elementet i den nye matrisen, altså verdien b₁. Når vi setter alt dette inn i likningen, har vi:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Vi fikk nøyaktig den første likningen i likningssettet vårt. På samme måte ville vi fortsatt for de andre radene. Vi definerer også den utvidede matrisen til systemet, som er koeffisientmatrisen med matrisen b føyd til slik:

$B = (A | b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Videre er vi interessert i rangen til denne utvidede matrisen. Rangen til den opprinnelige koeffisientmatrisen skriver vi rang(A), og rangen til den utvidede matrisen rang(A|b). Hva er forholdet mellom disse rangene? Hvis vi føyer kolonnen b til matrisen A, kan to situasjoner oppstå: hvis denne nye kolonnen er en lineærkombinasjon av kolonnene i matrisen A, endres ikke rangen. Hvis den ikke var en lineærkombinasjon, blir rangen én større.

Rouché–Capellis setning

Rangen til den utvidede matrisen blir viktig for oss, for det finnes en viktig setning, Rouché–Capellis setning (også kjent som Kronecker–Capellis setning eller Frobenius' setning): Likningssettet Ax = b har løsning hvis og bare hvis rangen til koeffisientmatrisen er lik rangen til den utvidede matrisen: rang(A) = rang(A|b).

La oss prøve å vise at denne setningen gjelder i hvert fall i én retning — hvis x = β er en løsning av likningen Ax = b, så er rang(A) = rang(A|b). Hvis disse rangene er like, må kolonnen b være en lineærkombinasjon av kolonnene i matrisen A. Vi skriver det ut. Matrisen β har formen:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Og vi påstår at hvis vi setter inn β₁ for x₁ osv., så gjelder alle likningene i likningssettet:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Nå skriver vi likningene litt om. Når vi ser på den første kolonnen, ser vi at vi der alltid har verdiene a₁₁, a₂₁, …, a_m1, som vi multipliserer med den samme verdien β₁. Hvis vi skiller ut kolonnen som en egen matrise, kan vi sette utenfor en parentes verdien β₁ foran matrisen, og da får vi:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Nå kan vi skrive om hele likningssettet på denne måten:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

For at denne likningen skal gjelde, må matrisen på høyre side være en lineærkombinasjon av kolonnematrisene på venstre side, og verdiene β₁, …, β_n må være koeffisientene deres.

Dermed har vi vist at hvis matrisen β skal være en løsning av likningssettet, må høyresiden av likningssettet, matrisen b, være en lineærkombinasjon av kolonnene i koeffisientmatrisen. Og hvis kolonnen fra matrisen b er en lineærkombinasjon av kolonnene i matrisen A, må matrisen A ha samme rang som matrisen (A|b).

Samtidig gjelder det at hvis rang(A) = rang(A|b) = k og k er lik antall ukjente, altså k = n, så har likningssettet nøyaktig én løsning. Hvis k < n, har likningssettet uendelig mange løsninger, og for å skrive dem opp trenger vi n − k parametere.

Elementære radoperasjoner

Videre ser vi av den foregående likningen at hvis vi utfører elementære radoperasjoner på matrisen (A|b), endres ikke løsningen av likningssettet. Hvis vi la den første raden til den andre raden, ville vi fått likningen:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Når vi skriver ut den andre raden, får vi:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Vi multipliserer ut parentesene:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Nå stokker vi det bare litt om:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

I den første parentesen har vi egentlig den første raden, og i den andre parentesen den opprinnelige andre raden. Vi vet at den første raden er lik verdien b₁ og den andre raden er lik verdien b₂. Det vet vi fra de opprinnelige likningene. Så for den første parentesen kan vi skrive b₁ og for den andre b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

På samme måte kan vi multiplisere en hel rad med en konstant c ≠ 0 uten å endre gyldigheten til likningssettet. Men vær oppmerksom på at vi ikke kan utføre kolonneoperasjoner.

Likningssett med én løsning

Med et eksempel viser vi hvordan vi løser et likningssett som har nøyaktig én løsning. La oss si at vi har dette likningssettet:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

Matrisen A ser slik ut:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Nå regner vi ut rangen til denne matrisen:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Vi ser at rang(A) = 3. Av det følger også at rang(A|b) = 3, for en matrise av typen 3 × 4 kan ha maksimal rang tre. Systemet har tre ukjente, så hele likningssettet har nøyaktig én løsning. Hvordan finner vi den?

Gauss-eliminasjon

Gauss-eliminasjon går ut på å bringe den utvidede matrisen til systemet på trappeform. Ved å bringe matrisen på trappeform kan vi finne verdien til én variabel. Når vi har funnet verdien til én variabel, kan vi begynne å sette denne verdien inn i de andre likningene.

Matrisen (A|b) har formen:

$(A | b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Vi bringer den på trappeform. Vi utfører de samme operasjonene som i forrige trinn, bare at vi denne gangen bruker dem også på den fjerde kolonnen:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Siden vi utførte elementære radoperasjoner, beskriver denne matrisen et ekvivalent likningssett — et likningssett som har den samme løsningsmengden. Vi skriver likningssettet om fra matriseform til vanlig form, der vi bruker koeffisientene fra den siste matrisen vår:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Nå tar vi utgangspunkt i den siste likningen. Den sier at 78x₃ = 312. Hvilken verdi må x₃ ha? Det er en enkel lineær likning, så

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Vi har verdien til den første variabelen, x₃. Denne verdien setter vi inn i den andre likningen. Vi får likningen:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Og til slutt setter vi begge de utregnede verdiene inn i den første likningen:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Verdien til variabelen x₁ er lik to. Nå har vi den komplette løsningen. Vi kan skrive at x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Som du ser, er Gauss' eliminasjonsmetode en enkel, men effektiv metode for å løse et lineært likningssett.

Uendelig mange løsninger

Hvis rang(A) = rang(A|b) = k og k er mindre enn antall ukjente, k < n, så har likningssettet uendelig mange løsninger. La oss ta et enkelt eksempel:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Vi ser at den andre likningen er lik tre ganger den første likningen. Hvis vi multipliserer den første likningen med minus tre og legger den til den andre raden, får vi:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Nå har vi antall variabler lik to, n = 2, rangen til koeffisientmatrisen lik én, rang(A) = 1, og rangen til den utvidede matrisen er også lik én, rang(A|b) = 1. Det gjelder at k < n, så systemet har uendelig mange løsninger. Hvordan finner vi disse løsningene?

Vi ser på likningene. Den andre likningen er oppfylt for alle x₁, x₂, så det er bare den første likningen vi er interessert i. Egentlig vil alle par x₁, x₂ som tilfredsstiller den første likningen, utgjøre mengden av alle løsninger av det gitte likningssettet. Så vi regner ut løsningen av likningen 4x₁ + x₂ = 5. Vi skriver likningen om til formen x₂ = 5 − 4x₁.

Videre tar vi en parameter til hjelp. Vi velger en parameter t. Nå skal vi prøve å uttrykke paret x₁, x₂ ved hjelp av parameteren t, slik at vi for eksempel kan skrive at alle par på formen (t, t + 2) er løsninger av systemet. Altså par som (1, 3) eller (14, 16). Poenget er å uttrykke verdien til én variabel ved hjelp av en annen variabel, slik at vi vet at når verdien av x₁ er det og det, så er verdien av x₂ for eksempel tre ganger større. Som utgangspunkt velger vi x₁.

Vi setter altså likheten t = x₁. Hvis variabelen x₁ har verdien t, hvilken verdi har da variabelen x₂? Det ser vi av den foregående likningen, den har verdien x₂ = 5 − 4x₁. Altså hvis x₁ = t, så er x₂ = 5 − 4t. Vi kan altså skrive at alle par på formen (t, 5 − 4t) er løsninger av likningssettet.

Vi kan kontrollere det. Hvis vi setter inn én for t, har vi: x₁ = 1 og x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Vi setter disse verdiene inn i likningen: 4 · 1 + 1 = 5, likningen stemmer.

Hvis vi setter inn fem for t, har vi: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Etter innsetting i likningen har vi: 4 · 5 − 15 = 5. Det stemmer.

Generell og partikulær løsning

En løsning av et likningssett som er skrevet ved hjelp av parametere, kaller vi en generell løsning. En konkret løsning, altså når vi setter inn konkrete tall for parameterne, kaller vi en partikulær løsning.

Så fra det foregående eksempelet: (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) er den generelle løsningen av likningssettet, (1, 1) og (5, −15) er partikulære løsninger.

Hvis vi har koeffisientmatrisen A og den utvidede matrisen (A|b) og rangene deres er like, rang(A) = rang(A|b) = k, trenger vi n − k parametere for å uttrykke den generelle løsningen. Legg merke til at hvis n = k, trenger vi null parametere. Det er tilfellet der likningssettet har nøyaktig én løsning — da trengs ingen parameter.

Eksempel

Løs følgende lineære likningssett:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Først regner vi ut rangen til matrisene A og (A|b). Vi bringer den utvidede matrisen på trappeform, og av det finner vi rangen til begge matrisene. Vi setter i gang med operasjonene. (Vi multipliserer den første raden med to, så adderer vi den første og den andre raden og trekker dette resultatet fra den tredje raden. Videre trekker vi den første raden fra den andre raden, og til slutt dividerer vi den første raden med to igjen.)

$\begin{array}{rcl} (A | b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Av denne siste matrisen ser vi allerede at rang(A) = rang(A|b) = k = 2. Antall ukjente er n = 4, så vi trenger n − k = 2 parametere. Vi skriver opp likningene etter den siste matrisen:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

Av den andre likningen får vi

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Vi velger den første parameteren, t = x₃. Da kan vi skrive at x₁ = −6t. Dette kan vi sette inn i den første likningen:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Vi tar den andre parameteren med i spillet, s = x₄. Da kan vi skrive at

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Dermed får vi den generelle løsningen av systemet:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Vi kan prøve noen partikulære løsninger. For eksempel s = t = 0. Da får vi: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Etter innsetting i de opprinnelige likningene:

får vi likningene:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

Etter å ha fjernet leddene som er null, og etter å ha multiplisert ut brøkene, får vi:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Vi prøver en annen partikulær løsning: s = 2, t = 1. Da får vi:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Vi setter inn i likningene:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Vi forenkler:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Og til slutt får vi:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Det ser ut til at den resulterende generelle løsningen er riktig.

Kapitler: Lineære likningssett, Cramers regel, Homogene lineære likningssett

« Forrige: Determinanter

Neste: Cramers regel »