Linjära ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem består av m linjära ekvationer med n variabler. När vi löser systemet får vi de värden som vi kan sätta in för våra n variabler så att alla ekvationer stämmer.

Definition av linjärt ekvationssystem

Du har säkert redan stött på ett enkelt system av typen

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

där a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ är givna reella tal och x och y är variabler. Det här systemet kan ha olika många lösningar – inga, en eller oändligt många, precis som en vanlig linjär ekvation. För ett linjärt ekvationssystem är frågan om antalet lösningar och hur vi hittar dem svårare än för en enkel linjär ekvation.

Definition av ett linjärt ekvationssystem:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

där a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m är reella tal. Systemet kallas då ett system av m linjära ekvationer med n obekanta x₁, …, x_n och koefficienterna a₁₁, …, a_mn. Ett konkret exempel på ett linjärt ekvationssystem kan se ut så här:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Om någon koefficient a_ij är negativ brukar vi i stället skriva systemet så här:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Det gäller ändå fortfarande att a₁₂ = −2 och a₂₄ = −10.

Matrisform

Vi kan skriva om systemet på matrisform. Vi definierar tre matriser: en för koefficienterna, en för ekvationernas högerled och en för själva variablerna. Matriserna ser ut så här:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

Matrisen A innehåller koefficienterna i de ursprungliga ekvationerna och kallas ”koefficientmatris”, matrisen b innehåller ekvationernas högerled och matrisen x innehåller variablerna. Då kan vi skriva hela ekvationssystemet som en enda ekvation

$A x = b$

Den här ekvationen är meningsfull, eftersom vi har en produkt av två matriser i vänsterledet och en matris i högerledet, och deras dimensioner stämmer. Vi kan prova att multiplicera vänsterledet. Vi multiplicerar en matris av typen m × n med en matris av typen n × 1, så den resulterande matrisen blir av typen m × 1, alltså med m rader och en kolumn. Än så länge stämmer allt.

Nu använder vi den vanliga algoritmen för matrismultiplikation. Vi börjar med den första raden i matrisen A och den första kolumnen i matrisen x (det finns ingen annan kolumn). Vi får:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Med den här summan har vi fått det första elementet i den nya matrisen, alltså värdet b₁. Om vi sätter in allt i ekvationen får vi:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Vi har fått precis den första ekvationen i vårt ekvationssystem. På samma sätt fortsätter vi med de övriga raderna. Vi definierar också systemets totalmatris, som är koefficientmatrisen med matrisen b tillagd så här:

$B = (A ∣ b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Härnäst är vi intresserade av rangen hos systemets totalmatris. Rangen hos den ursprungliga matrisen betecknar vi rang(A) och rangen hos totalmatrisen rang(A ∣ b). Hur hänger de här rangerna ihop? Om vi lägger till kolumnen b till matrisen A kan två saker hända: om den nya kolumnen är en linjärkombination av kolumnerna i matrisen A ändras inte rangen. Om den inte är en linjärkombination ökar rangen med ett.

Rouché–Capellis sats

Totalmatrisens rang är viktig för oss på grund av en viktig sats, Rouché–Capellis sats: Ekvationssystemet Ax = b har en lösning om och endast om rangen hos koefficientmatrisen är lika med rangen hos systemets totalmatris: rang(A) = rang(A ∣ b).

Vi visar att satsen gäller åtminstone i ena riktningen – om x = β är en lösning till ekvationen Ax = b, så är rang(A) = rang(A ∣ b). Om rangerna är lika måste kolumnen b vara en linjärkombination av kolumnerna i matrisen A. Vi skriver ut det. Matrisen β har formen:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Vi påstår att om vi sätter in β₁ för x₁ och så vidare, så stämmer alla ekvationer i systemet:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Nu skriver vi om ekvationerna lite. Om vi tittar på den första kolumnen ser vi att där alltid står a₁₁, a₂₁, …, a_m1, som alla multipliceras med samma värde β₁. Om vi skriver kolumnen som en egen matris kan vi bryta ut värdet β₁ framför matrisen, och då får vi:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

På det här sättet kan vi nu skriva om hela systemet:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

För att den här ekvationen ska gälla måste matrisen i högerledet vara en linjärkombination av kolumnmatriserna i vänsterledet, och värdena β₁, …, β_n måste vara koefficienterna i den.

Därmed har vi visat att om matrisen β ska vara en lösning till ekvationssystemet, så måste systemets högerled, matrisen b, vara en linjärkombination av kolumnerna i koefficientmatrisen. Och om kolumnen b är en linjärkombination av kolumnerna i matrisen A, så måste matrisen A ha samma rang som matrisen (A ∣ b).

Dessutom gäller att om rang(A) = rang(A ∣ b) = k och k är lika med antalet obekanta, alltså k = n, så har systemet exakt en lösning. Om k < n har systemet oändligt många lösningar, och för att skriva dem behöver vi n − k parametrar.

Elementära radoperationer

Av den föregående ekvationen ser vi också att om vi gör elementära radoperationer på matrisen (A ∣ b) ändras inte ekvationssystemets lösning. Om vi skulle addera den första raden till den andra raden skulle vi få ekvationen:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

När vi skriver ut den andra raden får vi:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Vi multiplicerar in i parenteserna:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Nu ordnar vi om termerna lite:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

I den första parentesen har vi egentligen den första raden och i den andra parentesen den ursprungliga andra raden. Vi vet att den första raden är lika med värdet b₁ och den andra raden är lika med värdet b₂. Det vet vi från de ursprungliga ekvationerna. Vi kan alltså skriva b₁ i stället för den första parentesen och b₂ i stället för den andra:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

På samma sätt kan vi multiplicera en hel rad med en konstant c ≠ 0 utan att ekvationssystemet slutar gälla. Observera dock att vi inte får göra kolumnoperationer.

System med exakt en lösning

Med ett exempel visar vi hur vi löser ett system som har exakt en lösning. Vi har ekvationssystemet:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

Matrisen A ser ut så här:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Nu bestämmer vi rangen hos den här matrisen:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Vi ser att rang(A) = 3. Av det följer också att rang(A ∣ b) = 3, eftersom en matris av typen 3 × 4 högst kan ha rang tre. Systemet har tre obekanta, så hela systemet har exakt en lösning. Hur hittar vi den?

Gausselimination

Gausselimination innebär att vi skriver om systemets totalmatris på trappstegsform. När vi har matrisen på trappstegsform kan vi bestämma värdet på en variabel. När vi har hittat värdet på en variabel kan vi sätta in det i de andra ekvationerna.

Matrisen (A ∣ b) har formen:

$(A ∣ b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Vi skriver om den på trappstegsform. Vi gör samma operationer som i föregående steg, men den här gången använder vi dem också på den fjärde kolumnen:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Eftersom vi har gjort elementära radoperationer beskriver den här matrisen ett ekvivalent ekvationssystem – ett system som har samma lösningsmängd. Vi skriver om systemet från matrisform till vanlig form med koefficienterna från vår sista matris:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Nu utgår vi från den sista ekvationen. Den säger att 78x₃ = 312. Vilket värde måste x₃ ha? Det är en enkel linjär ekvation, så

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Vi har fått värdet på den första variabeln, x₃. Det värdet sätter vi in i den andra ekvationen. Vi får ekvationen:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Till sist sätter vi in båda värdena i den första ekvationen:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Värdet på variabeln x₁ är två. Nu har vi hela lösningen. Vi kan skriva att x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Som du ser är Gausselimination en enkel men effektiv metod för att lösa ett linjärt ekvationssystem.

System med oändligt många lösningar

Om rang(A) = rang(A ∣ b) = k och k är mindre än antalet obekanta, k < n, så har systemet oändligt många lösningar. Vi tittar på ett enkelt exempel:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Vi ser att den andra ekvationen är tre gånger den första ekvationen. Om vi multiplicerar den första ekvationen med minus tre och adderar den till den andra raden får vi:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Nu är antalet variabler två, n = 2, rangen hos koefficientmatrisen är ett, rang(A) = 1, och rangen hos totalmatrisen är också ett, rang(A ∣ b) = 1. Det gäller att k < n, så systemet har oändligt många lösningar. Hur hittar vi dem?

Vi tittar på ekvationerna. Den andra ekvationen är uppfylld för alla x₁, x₂, så vi behöver bara bry oss om den första ekvationen. Alla par x₁, x₂ som uppfyller den första ekvationen bildar nämligen lösningsmängden till hela ekvationssystemet. Vi löser alltså ekvationen 4x₁ + x₂ = 5. Vi skriver om ekvationen som x₂ = 5 − 4x₁.

Sedan tar vi hjälp av en parameter. Vi väljer parametern t. Nu försöker vi uttrycka paret x₁, x₂ med hjälp av parametern t, så att vi till exempel kan skriva att alla par på formen (t, t + 2) är lösningar till systemet. Alltså par som (1, 3) eller (14, 16). Poängen är att uttrycka värdet på den ena variabeln med hjälp av en annan variabel, så att vi vet att när x₁ har ett visst värde, så har x₂ till exempel ett värde som är tre gånger större. Som utgångspunkt väljer vi x₁.

Vi sätter alltså t = x₁. Om variabeln x₁ har värdet t, vilket värde har då variabeln x₂? Det ser vi av den förra ekvationen: den har värdet x₂ = 5 − 4x₁. Om x₁ = t är alltså x₂ = 5 − 4t. Vi kan därför skriva att alla par på formen (t, 5 − 4t) är lösningar till ekvationssystemet.

Vi kan kontrollera det. Om vi sätter in ett för t får vi: x₁ = 1 och x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Vi sätter in de här värdena i ekvationen: 4 · 1 + 1 = 5, ekvationen stämmer.

Om vi sätter in fem för t får vi: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Efter insättning i ekvationen får vi: 4 · 5 − 15 = 5. Det stämmer.

Allmän och partikulär lösning

En lösning till ett ekvationssystem som är skriven med hjälp av parametrar kallas allmän lösning. En konkret lösning, där vi alltså har satt in konkreta tal för parametrarna, kallas partikulär lösning.

I det förra exemplet är alltså (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) den allmänna lösningen till ekvationssystemet, medan (1, 1) och (5, −15) är partikulära lösningar.

Om vi har koefficientmatrisen A och totalmatrisen (A ∣ b) och deras ranger är lika, rang(A) = rang(A ∣ b) = k, så behöver vi n − k parametrar för att skriva den allmänna lösningen. Lägg märke till att om n = k behöver vi noll parametrar. Det är fallet när systemet har exakt en lösning – då behövs ingen parameter.

Exempel

Lös följande linjära ekvationssystem:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Först bestämmer vi rangen hos matriserna A och (A ∣ b). Vi skriver om totalmatrisen på trappstegsform, och av den ser vi rangen hos båda matriserna. Vi sätter igång. (Vi multiplicerar den första raden med två, adderar sedan den första och den andra raden och subtraherar resultatet från den tredje raden. Sedan subtraherar vi den första raden från den andra raden, och till sist dividerar vi den första raden med två för att få tillbaka den.)

$\begin{array}{rcl} (A ∣ b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Av den här sista matrisen ser vi redan att rang(A) = rang(A ∣ b) = k = 2. Antalet obekanta är n = 4, så vi behöver n − k = 2 parametrar. Vi skriver ekvationerna enligt den sista matrisen:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

Av den andra ekvationen får vi

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Vi väljer den första parametern, t = x₃. Då kan vi skriva att x₁ = −6t. Det kan vi sätta in i den första ekvationen:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Nu tar vi in den andra parametern, s = x₄. Då kan vi skriva att

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Därmed får vi systemets allmänna lösning:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Vi kan prova några partikulära lösningar. Till exempel s = t = 0. Då får vi: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Efter insättning i de ursprungliga ekvationerna:

får vi ekvationerna:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

När vi tar bort nollorna och multiplicerar ihop bråken får vi:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Vi prövar en partikulär lösning till: s = 2, t = 1. Då får vi:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Vi sätter in i ekvationerna:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Vi förenklar:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Och till sist får vi:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Det verkar som att den allmänna lösningen stämmer.

Kapitel: Linjära ekvationssystem, Cramers regel, Homogena linjära ekvationssystem

« Föregående: Determinanter

Nästa: Cramers regel »