Lineære ligningssystemer

Et lineært ligningssystem er en mængde af m lineære ligninger med n variable. Når vi løser systemet, finder vi værdier, som vi kan sætte ind for vores n variable, så alle ligningerne går op.

Definition af et lineært ligningssystem

Du har sikkert allerede mødt et simpelt system af typen

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

hvor a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ er givne reelle tal, og x og y er variable. Dette ligningssystem kan have et forskelligt antal løsninger — ingen, én eller uendelig mange, ligesom en almindelig lineær ligning. For et lineært ligningssystem er spørgsmålet om antallet af løsninger og om, hvordan man finder dem, mere indviklet end for en simpel lineær ligning.

Definition af et lineært ligningssystem:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

hvor a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m er reelle tal. Dette system kaldes et system af m lineære ligninger med n ubekendte x₁, …, x_n og koefficienterne a₁₁, …, a_mn. Et konkret eksempel på et lineært ligningssystem kunne se sådan ud:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Men hvis et a_ij er negativt, er det almindeligt at skrive det på denne form:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Det gælder stadig, at a₁₂ = −2 og a₂₄ = −10.

Matrixform

Dette system kan vi skrive om på matrixform. Vi definerer i alt tre matricer, en for koefficienterne, en for ligningernes højresider og en for selve variablene. Matricerne ser så sådan ud:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

Matricen A indeholder koefficienterne fra de oprindelige ligninger, og vi kalder den »systemets matrix«. Matricen b indeholder ligningernes højresider, og matricen x indeholder variablene. Så kan vi skrive hele ligningssystemet som én ligning

$A x = b$

Denne ligning giver mening, fordi vi på venstre side har et produkt af to matricer og på højre side en matrix, og deres dimensioner passer sammen. Vi kan prøve at gange venstre side ud. Vi ganger en matrix af typen m × n med en matrix af typen n × 1, så den resulterende matrix er af typen m × 1, den har m rækker og én søjle. Indtil videre er alt i orden.

Nu udfører vi den klassiske algoritme til multiplikation af matricer. Vi begynder med første række i matricen A og første søjle i matricen x (der er ingen anden søjle). Vi får:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Med denne sum har vi fået det første element i den nye matrix, altså værdien b₁. Når vi sætter det hele ind i ligningen, har vi:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Vi har fået netop den første ligning i vores ligningssystem. På samme måde ville vi fortsætte med de øvrige rækker. Vi definerer desuden totalmatricen, som er systemets matrix, hvortil vi har føjet matricen b sådan:

$B = (A | b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Vi vil dernæst interessere os for rangen af denne totalmatrix. Rangen af systemets oprindelige matrix betegner vi rank(A), rangen af totalmatricen rank(A|b). Hvad er sammenhængen mellem dem? Hvis vi føjer søjlen b til matricen A, kan der opstå to situationer: Hvis den nye søjle er en linearkombination af søjlerne i matricen A, ændrer rangen sig ikke. Hvis den ikke var en linearkombination, bliver rangen én større.

Kronecker–Capellis sætning

Rangen af totalmatricen bliver vigtig for os, fordi der gælder en vigtig sætning, Kronecker–Capellis sætning: Ligningssystemet Ax = b har en løsning, hvis og kun hvis rangen af systemets matrix er lig med rangen af systemets totalmatrix: rank(A) = rank(A|b).

Vi prøver at vise, at sætningen gælder i det mindste i den ene retning — hvis x = β er en løsning til ligningen Ax = b, så er rank(A) = rank(A|b). Hvis de to matricer har samme rang, må søjlen b være en linearkombination af søjlerne i matricen A. Vi skriver det ud. Matricen β har formen:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Og vi påstår, at hvis vi sætter β₁ ind for x₁ osv., så bliver alle ligningerne i ligningssystemet opfyldt:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Nu omskriver vi ligningerne lidt. Hvis vi ser på den første søjle, ser vi, at vi altid har værdierne a₁₁, a₂₁, …, a_m1, som alle ganges med den samme værdi β₁. Hvis vi gør søjlen til en selvstændig matrix, kan vi sætte værdien β₁ uden for matricen, og så får vi:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Nu kan vi på denne måde omskrive hele systemet:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

For at denne ligning kan gælde, må matricen på højre side være en linearkombination af søjlematricerne på venstre side, og værdierne β₁, …, β_n må være deres koefficienter.

Dermed har vi vist, at hvis matricen β skal være en løsning til ligningssystemet, så må systemets højreside, matricen b, være en linearkombination af søjlerne i systemets matrix. Og hvis søjlen fra matricen b er en linearkombination af søjlerne i matricen A, så må matricen A have samme rang som matricen (A|b).

Samtidig gælder det, at hvis rank(A) = rank(A|b) = k, og k er lig med antallet af ubekendte, altså k = n, så har systemet præcis én løsning. Hvis k < n, har systemet uendelig mange løsninger, og for at skrive dem op skal vi bruge n − k parametre.

Elementære rækkeoperationer

Af den foregående ligning kan vi desuden se, at hvis vi udfører elementære rækkeoperationer i matricen (A|b), ændrer ligningssystemets løsning sig ikke. Hvis vi lagde første række til anden række, ville vi få ligningen:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Når vi skriver den anden række ud, får vi:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Vi ganger parenteserne ud:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Nu bytter vi lidt rundt på leddene:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

I den første parentes har vi i virkeligheden den første række og i den anden parentes den oprindelige anden række. Vi ved, at den første række er lig med værdien b₁, og den anden række er lig med værdien b₂. Det ved vi fra de oprindelige ligninger. Så i stedet for den første parentes kan vi skrive b₁ og i stedet for den anden b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

På samme måde kan vi gange en hel række med en konstant c ≠ 0, uden at ligningssystemets gyldighed ændrer sig. Men pas på: Vi kan ikke udføre søjleoperationer.

System med én løsning

På et eksempel viser vi, hvordan man løser et system, der har præcis én løsning. Lad os tage dette ligningssystem:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

Matricen A ser således ud:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Nu beregner vi rangen af denne matrix:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Vi ser, at rank(A) = 3. Heraf følger også, at rank(A|b) = 3, fordi en matrix af typen 3 × 4 højst kan have rang tre. Systemet har tre ubekendte, så hele systemet har præcis én løsning. Hvordan finder vi den?

Gauss-elimination

Gauss-elimination går ud på at omforme systemets totalmatrix til trappeform. Når vi har omformet matricen til trappeform, kan vi finde værdien af én variabel. Når vi har fundet værdien af én variabel, kan vi begynde at indsætte den værdi i de andre ligninger.

Matricen (A|b) har formen:

$(A | b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Vi omformer den til trappeform. Vi udfører de samme operationer som i det foregående trin, men denne gang anvender vi dem også på den fjerde søjle:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Fordi vi udførte elementære rækkeoperationer, beskriver denne matrix et ækvivalent ligningssystem — et system, der har den samme løsningsmængde. Vi skriver systemet om fra matrixform til den sædvanlige form med koefficienterne fra vores sidste matrix:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Nu tager vi udgangspunkt i den sidste ligning. Den siger, at 78x₃ = 312. Hvilken værdi må x₃ have? Det er en simpel lineær ligning, så

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Vi har værdien af den første variabel, x₃. Den værdi indsætter vi i den anden ligning. Vi får ligningen:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Og til sidst indsætter vi begge de beregnede værdier i den første ligning:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Værdien af variablen x₁ er lig med to. Nu har vi den fuldstændige løsning. Vi kan skrive, at x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Som du kan se, er Gauss-elimination en enkel, men effektiv metode til at løse et lineært ligningssystem.

Uendelig mange løsninger

Hvis rank(A) = rank(A|b) = k, og k er mindre end antallet af ubekendte, k < n, så har systemet uendelig mange løsninger. Lad os tage et simpelt eksempel:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Vi ser, at den anden ligning er lig med tre gange den første ligning. Hvis vi ganger den første ligning med minus tre og lægger den til den anden række, får vi:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Nu er antallet af variable lig med to, n = 2, rangen af systemets matrix er lig med én, rank(A) = 1, og rangen af totalmatricen er også lig med én, rank(A|b) = 1. Der gælder k < n, så systemet har uendelig mange løsninger. Hvordan finder vi disse løsninger?

Vi ser på ligningerne. Den anden ligning er opfyldt for alle x₁, x₂, så vi interesserer os kun for den første ligning. Alle par x₁, x₂, der opfylder den første ligning, udgør faktisk mængden af alle løsninger til det givne ligningssystem. Vi løser altså ligningen 4x₁ + x₂ = 5. Vi omformer ligningen til formen x₂ = 5 − 4x₁.

Dernæst hjælper vi os med en parameter. Vi vælger en parameter t. Nu prøver vi at udtrykke parret x₁, x₂ ved hjælp af parameteren t, så vi for eksempel kan skrive, at alle par af formen (t, t + 2) er løsninger til systemet. Altså par som (1, 3) eller (14, 16). Meningen er at udtrykke værdien af den ene variabel ved hjælp af en anden variabel, så vi ved, at når værdien af x₁ er sådan og sådan, så er værdien af x₂ for eksempel tre gange større. Som udgangspunkt vælger vi x₁.

Vi sætter altså t = x₁. Hvis variablen x₁ har værdien t, hvilken værdi har så variablen x₂? Det kan vi se af den foregående ligning, den har værdien x₂ = 5 − 4x₁. Altså hvis x₁ = t, så er x₂ = 5 − 4t. Vi kan dermed skrive, at alle par af formen (t, 5 − 4t) er løsninger til ligningssystemet.

Vi kan kontrollere det. Hvis vi sætter 1 ind for t, har vi: x₁ = 1 og x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Vi sætter disse værdier ind i ligningen: 4 · 1 + 1 = 5, ligningen passer.

Hvis vi sætter 5 ind for t, har vi: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Når vi sætter ind i ligningen, har vi: 4 · 5 − 15 = 5. Det passer.

Fuldstændig og partikulær løsning

En løsning til et ligningssystem, der er skrevet ved hjælp af parametre, kalder vi den fuldstændige løsning. En konkret løsning, altså hvis vi sætter konkrete tal ind for parametrene, kalder vi en partikulær løsning.

Fra det foregående eksempel: (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) er den fuldstændige løsning til ligningssystemet, (1, 1) og (5, −15) er partikulære løsninger.

Hvis vi har systemets matrix A og systemets totalmatrix (A|b), og de har samme rang, rank(A) = rank(A|b) = k, så skal vi bruge n − k parametre til at udtrykke den fuldstændige løsning. Læg mærke til, at hvis n = k, skal vi bruge nul parametre. Det er tilfældet, hvor systemet har præcis én løsning — så er der ikke brug for nogen parameter.

Eksempel

Løs følgende lineære ligningssystem:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Først beregner vi rangen af matricerne A og (A|b). Vi omformer totalmatricen til trappeform, og heraf finder vi rangen af begge matricer. Så går vi i gang. (Vi ganger første række med to, lægger derefter første og anden række sammen og trækker dette resultat fra tredje række. Dernæst trækker vi første række fra anden række og til sidst dividerer vi første række med to igen.)

$\begin{array}{rcl} (A | b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Af denne sidste matrix kan vi allerede se, at rank(A) = rank(A|b) = k = 2. Antallet af ubekendte er n = 4, så vi skal bruge n − k = 2 parametre. Vi skriver ligningerne op ud fra den sidste matrix:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

Af den anden ligning får vi

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Vi vælger den første parameter, t = x₃. Så kan vi skrive, at x₁ = −6t. Det kan vi sætte ind i den første ligning:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Nu tager vi den anden parameter i brug, s = x₄. Så kan vi skrive, at

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Dermed får vi systemets fuldstændige løsning:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Vi kan afprøve nogle partikulære løsninger. For eksempel s = t = 0. Så får vi: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Når vi sætter ind i de oprindelige ligninger:

får vi ligningerne:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

Når vi fjerner nulleddene og ganger brøkerne ud, får vi:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Vi prøver en anden partikulær løsning: s = 2, t = 1. Så får vi:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Vi sætter ind i ligningerne:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Vi reducerer:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Og til sidst får vi:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Det ser ud til, at den fuldstændige løsning er rigtig.

Kapitler: Lineære ligningssystemer, Cramers regel, Homogene lineære ligningssystemer

« Forrige: Determinanter

Næste: Cramers regel »