Birinci Dereceden Denklem

Birinci dereceden denklem, ax + b = 0 biçimine getirilebilen denklemdir; burada a ≠ 0 olmalıdır. Somut bir örnek şöyle olabilir: 2x + 4 = 0. Bu denklemin çözümü −2 sayısıdır; biraz düşününce bunu kolayca bulabiliriz. Sayılar biraz büyüdüğünde işimiz bu kadar kolay olmaz, bu yüzden daha somut bir yönteme ihtiyacımız var.

Birinci Dereceden Denklemin Genel Biçimi

Daha doğru söylersek, bu, bir bilinmeyen x içeren ve denk işlemlerle ax + b = 0 biçimine getirilebilen denklemdir; burada a ≠ 0. Bilinmeyenin kuvveti ya da kökü alınmamıştır. Bilinmeyeni bir kesrin paydasında olan denklemler bu biçime ancak payda sıfır değilse getirilebilir. Bu yüzden onları ayrı çözeriz; bkz. bilinmeyeni paydada olan birinci dereceden denklemler. Birinci dereceden denklemlerin farklı örneklerine bak:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Gördüğün gibi birinci dereceden denklem çok farklı görünebilir. Güzelce çözebilmek için önce hepsini tek bir biçime getirmemiz gerekir; bu biçime genel biçim diyoruz:

$$ax+b=0,$$

burada x bilinmeyen, a ve b ise herhangi birer gerçek sayıdır; bunlara denklemin katsayıları denir. Ayrıca a sayısı sıfır olamaz, yani a ≠ 0. ax ifadesine birinci dereceden terim, b ifadesine sabit terim denir.

Birinci dereceden bir denklemi çözerken denk işlemlerden vazgeçemeyiz; bunlar denklemin çözümünü değiştirmeyen işlemlerdir. Onlar olmadan daha karmaşık bir denklem çözülemez. Denklemi genel biçime, ya denklemdeki ifadeleri düzenleyerek ya da tam da denklemlere denk işlemler uygulayarak getirebiliriz.

Yukarıdaki örneklere dönelim. İlk denklem 2x + 7 = 0 zaten genel biçimdedir; katsayıları hemen görürüz: a = 2 ve b = 7. İkinci denklem x − 2 = 74 için bu o kadar kolay değil. Bir denk işlem uygularız: her iki tarafa −74 sayısını ekleriz (yani her iki taraftan 74 çıkarırız) ve x − 76 = 0 elde ederiz. Bu artık genel biçimdedir; katsayıları a = 1 ve b = −76 olur.

Üçüncü denklem genel biçimden henüz çok uzak, ama onu da halledebiliriz. Önce sağ tarafta sıfır “elde edelim”: her iki tarafa 12x ifadesini ekleriz. Bu işlem sağ tarafı sıfırlar, çünkü (−12x) + 12x = 0. Denklemin tamamı şöyle görünür:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Şimdi yalnızca parantezleri kaldırıp x içeren terimleri toplamamız gerekiyor.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Bu birinci dereceden denklem genel biçimdedir ve katsayıları a = −8 ile b = 3 olur.

Son denklemde kesirlerden kurtulmalıyız. Bunun için denklemin tamamını bütün paydalara bölünebilen 72 sayısıyla çarparız:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Şimdi kesirleri sadeleştirelim:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Sol tarafta toplar, sağ tarafta çarparız:

$$39x=405x+72$$

Son adım: her iki taraftan 405x ve 72 çıkarırız ve denklem genel biçime gelir:

$$-366x-72=0$$

Katsayılar böylece a = −366 ve b = −72 çıkar.

Birinci Dereceden Denklem Nasıl Çözülür

Birinci dereceden denklem genel biçimdeyse çözmesi kolaydır. Bir örnekle görelim: 3x − 18 = 0. 18 sayısını hangi sayıdan çıkarırsak sıfır elde ederiz? Elbette yine 18’den. O hâlde 3x − 18 ifadesinin sıfıra eşit olması için 3x ifadesi 18’e eşit olmalıdır; o zaman 18 − 18 = 0 olur. 3x ifadesi ne zaman 18’e eşit olur? Ancak ve ancak x = 6 olduğunda, çünkü 3 · 6 = 18.

Bundan genel yöntemi nasıl çıkarırız? Önce birinci dereceden terim ax ifadesinin neye eşit olması gerektiğini bulmalıyız. Bunun için sabit terimi denklemin sağ tarafına geçiririz, yani denkleme −b ekleriz. Böylece ax + b − b = −b denklemini elde ederiz; bu da ax = −b ile aynıdır. Önceki örnekte 3x − 18 + 18 = 18, yani 3x = 18 elde ederdik. b sayısının b = −18 olduğunu unutma; dolayısıyla −b eklediğimizde aslında −(−18) ekliyoruz ve bu +18 eder.

Denklem şimdi ax = −b biçiminde. x’i doğrudan nasıl buluruz? Örnekte 3 ile çarpıldığında 18 veren x değerini aradık. Aslında ne yaptık? 18/3 = 6 bölmesini yaptık. Yani sağ taraftaki ifadeyi (−b) alıp a sayısına, örnekte 3’e böldük. Böylece ax = −b denkleminden şunu elde ederiz:

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Bu yöntemin ilk örneğe uygulanmış hâli şöyledir:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Geometrik Anlam

Birinci dereceden denklemi genel biçime getirdiğimizde sol tarafta bir doğrusal fonksiyon elde ederiz. Doğrusal fonksiyonun grafiği bir doğrudur. Birinci dereceden denklemin genel biçimi ax + b = 0 olduğundan, denklemin çözümleri bu doğrunun (doğrusal fonksiyonun grafiğinin) x eksenini kestiği noktalardır (x ekseni aynı zamanda f(x) = 0 fonksiyonunun, yani sağ tarafın grafiğidir).

Örneğin 3x − 18 = 0 denkleminin çözümünün x = 6 olduğunu bulmuştuk. Bu ne anlama gelir? 3x − 18 fonksiyonunun grafiği x eksenini x = 6 noktasında keser.

5x + 2 = 2x − 7 denklemini grafikle çözmeyi deneyelim. Nasıl ilerleyebiliriz? Denklemi genel biçime getirebiliriz: her iki tarafa −2x ekleyip 3x + 2 = −7 elde ederiz, sonra 7 ekleriz: 3x + 9 = 0. Şimdi y = 3x + 9 doğrusal fonksiyonunun grafiğini çizelim ve x eksenini nerede kestiğine bakalım.

İkinci yol, denklemi hiç düzenlememek ve denklemin iki tarafındaki fonksiyonların grafiklerini çizdirmektir. Yani f(x) = 5x + 2 ve g(x) = 2x − 7 fonksiyonlarının grafiklerini çizeriz.

Bu iki doğru bir noktada kesişti; bu noktayı A ile gösterdik. A noktasının x koordinatı (apsisi) kaçtır? Yine x = −3. Demek ki 5x + 2 = 2x − 7 denkleminin grafikle çözümü, sol ve sağ taraftaki fonksiyonların grafiklerinin kesişim noktasının apsisidir.

Çözümlü Örnekler

Birinci örnek: 7x − 14 = 0 denklemini çözmeyi deneyelim. Durum basit: denklem genel biçimde, bu yüzden yalnızca yöntemi uygularız:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

İkinci örnek: 2x + 10 = 0 denklemini çöz. Denklem yine genel biçimde; yalnızca b pozitif olduğu için düzenlemeden sonra sağ tarafta negatif bir sayı çıkacağına dikkat et:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Üçüncü örnek: 15 − 3x = 0 denklemini çöz. Denklem neredeyse genel biçimde; bilinmeyen x’i ilk sıraya almamız yeterli. O zaman denklem −3x + 15 = 0 olur. Burada birinci dereceden terimin önünde eksi olduğuna dikkat et; bunu şimdiye kadar görmemiştik. İşlemler ise tamamen aynıdır:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Bu örneği biraz farklı, daha uzun bir yoldan da çözebiliriz. Denklemi doğrudan −3 sayısına bölmek yerine önce −1 ile çarpabiliriz; böylece iki eksiden de kurtuluruz. Sonra denklemi 3’e böleriz:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Dördüncü örnek: Şu birinci dereceden denklemi çöz:

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Bu denklem biraz daha karmaşık, çünkü kesirler var. Önce bu kesirlerden kurtulmamız gerekir. En iyisi denklemin tamamını bütün paydaların en küçük ortak katıyla çarpmaktır. İki payda var: 4 ve 2. En küçük ortak kat 4’tür. Hesaplamak istemezsen denklemi bütün paydaların çarpımıyla, yani 4 · 2 = 8 ile de çarpabilirsin, ama bu önerilen yol değildir, çünkü bir sonraki adımda işini zorlaştırırsın. Denklemi 4 ile çarparsak kesirlerden sadeleştirerek, yani basitleştirerek kurtuluruz:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Şimdi denklemi genel biçime getirelim: x − 12 = 0 ve bu denklemden x = 12 olduğunu hemen görürüz.

Beşinci örnek / problem: Emre ve Can adında iki kardeş olsun. Can liseyi bitirir bitirmez işe girdi; Emre ise bir de üniversiteye gitti ve toplam beş yıl okudu. Can her ay 50.000 TL maaş alıyordu. Emre, rekreasyon bölümünü “şezlongda uzanma” alanında uzmanlaşarak bitirmesine rağmen bir kamu kurumunda iş bulmayı başardı ve ayda 70.000 TL kazandı. Emre toplamda kaç ay sonra Can ile aynı parayı kazanmış olur? Yani durumu netleştirelim: beş yılda Can 5 · 12 · 50.000 TL kazandı, Emre’nin ise beş yılın sonunda cebinde tek kuruş yok. Bu iki toplam kaç ay sonra eşitlenir?

Soruda verilenlerden birinci dereceden bir denklem kurabiliriz: x değişkeni aranan ay sayısını göstersin; x = 0 ise Emre’nin mezun olmasının üzerinden sıfır ay geçmiş demektir.

Önce Emre’nin gelirini ay sayısına bağlı olarak veren fonksiyonu yazalım. Örneğin Emre’nin altı ay sonraki geliri ilgimizi çekiyorsa, bunu kolayca hesaplarız: 70.000 · 6 = 420.000 TL. Genel olarak x ay sonra Emre toplam 70.000 · x TL kazanmış olur.

Can için de durum benzerdir: 50.000 · x. Ancak Emre okurken Can’ın kazandığı parayı da eklememiz gerekir. Emre beş yıl okudu, dolayısıyla Can bu sürede 5 · 12 · 50.000 TL kazandı. Can için tüm kural şöyle olur: 5 · 12 · 50.000 + 50.000 · x.

Bu iki fonksiyonu bir denklemde eşitleriz, çünkü bu kazançların hangi x için eşit olduğunu merak ediyoruz:

$$5\cdot 12\cdot 50.000+50.000\cdot x=70.000\cdot x$$

Denklemi, bütün x terimlerini bir tarafa toplayarak kolayca düzenleriz:

$$20000x=5\cdot 12\cdot 50.000$$

Son olarak 20.000’e böleriz:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

150 ay sonra ikisinin parası eşit olur. Can, Emre okurken hatırı sayılır bir miktar, 5 · 12 · 50.000 = 3.000.000 TL kazandı; üstüne 150 ay daha çalışıp 50.000 · 150 = 7.500.000 TL kazandı, yani toplam 3.000.000 + 7.500.000 = 10.500.000 TL. Emre yalnızca bu 150 ay çalıştı ve bu sürede 70.000 · 150 = 10.500.000 TL kazandı. Beş yıllık okuldan ve ardından gelen 150 aydan sonra ikisinin gerçekten de aynı parayı kazandığını görüyoruz.

Diğer Örnekler

Aşağıdaki birinci dereceden denklemi çöz:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Önce parantezi açalım:

$$2x-14=6$$

Şimdi sol tarafta bilinmeyenli ifadeyi bırakıp geri kalan her şeyi sağ tarafa geçirelim:

$$2x=20$$

… ve son olarak ikiye bölelim.

$$x=10$$

Şu denklemi çöz:

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Yine önce parantezleri açalım:

$$9-3x+5x-10=0$$

Toplanabilecekleri toplayalım, bilinmeyenli terimleri sol tarafa, geri kalanı sağ tarafa geçirelim:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Son olarak denklemin tamamını ikiye böleriz:

$$x=\frac{1}{2}$$