Dağılma Özelliği

Dağılma özelliği, örneğin toplama ve çarpma gibi iki ikili işlemin bir özelliğidir. Çarpma ve toplama durumunda dağılma özelliği bize “parantezi açabileceğimizi” söyler. Örneğin şu ifadeye sahipsek

$$2\cdot (3+4)$$

parantezi açabileceğimizi, yani şu farklı ifadeyi elde edebileceğimizi biliriz:

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

İki ifade de aynı sonuca, 14 sayısına götürür. Bu açmayı yapabildik, çünkü gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Genel olarak, · ve + gibi iki işlemimiz varsa ve tüm a, b, c ∈ M için şu sağlanıyorsa, · işleminin M kümesinde + işlemi üzerine dağılma özelliği vardır deriz:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

Dağılma özelliği olan işlemlere bir başka örnek, önermeler mantığındaki “ve” ∧ ile “veya” ∨ bağlaçlarıdır. A, B ve C önermelerimiz olduğunu düşünelim. “A ve (B veya C)” dersek bunu şöyle yazarız

$$A\wedge (B\vee C)$$

“Ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine dağılma özelliği olduğu için aynı zamanda şu da geçerlidir:

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Yani sözle: “(A ve B) veya (A ve C)”. Dağılma özelliği olmayan işlemlere de örnek olsun diye toplama ve çıkarmayı alalım:

$$10-(5+3)$$

Doğru sonuç elbette 2’dir, çünkü parantezin içini topladıktan sonra 10 − 8 elde ederiz, bu da 2’dir. Bu hesaba dağılma kuralını uygulasaydık şu ifadeyi elde ederdik:

$$(10-5)+(10-3)$$

Parantezlerin içini hesapladıktan sonra 5 + 7 elde ederdik, bu da 12’dir. Yanlış sonuç elde ettiğimizi görüyoruz; yani toplama ve çıkarma işlemlerinin dağılma özelliği yoktur.

Diğer örnekler: matrislerle yapılan bazı işlemler dağılma kuralını sağlar. Vektör uzayındaki vektörler de öyle. Bir cisim üzerindeki işlemlerin dağılma özelliği olmak zorundadır.