Temel İstatistik Kavramları
İstatistik; verileri inceleyen, işleyen ve değerlendiren bir bilimdir.
Ana kütle
İstatistiğin amacı, belirli bir ana kütle hakkında ilginç bir şey öğrenmek için deney yapmaktır. Ana kütle denince genel olarak incelemek istediğimiz herhangi bir öğeler topluluğunu kastederiz. Türkiye’de yaşayanların ortalama yaşını öğrenmek istiyorsak, ana kütlemiz Türkiye’de yaşayan herkes olur.
Ama binek araçların yüz kilometrede ortalama benzin tüketimini öğrenmek istersek, ana kütlemiz (belirli bir bölgedeki) tüm binek araçların kümesi olur.
Örneklem
Çoğu zaman ana kütlenin tüm öğeleriyle çalışmak mümkün değildir. Diyelim ki insanların okullarda matematik ders saatlerinin artırılması hakkında ne düşündüğünü öğrenmek istiyoruz. İnsanların bu konuda gerçekten ne düşündüğünü öğrenmek için kapı kapı, köprü köprü dolaşıp her vatandaşa matematik ders saatlerinin artırılması hakkında ne düşündüğünü sormamız gerekirdi. Bunu pratikte yapmak mümkün değil. Bazı nedenler:
- Çok pahalıdır. Yaklaşık seksen beş milyon kişiye sormak ucuz bir iş değildir. Sadece anketörlerin yol ve maaş giderleri bile milyonlarca liraya ulaşır.
- Çok uzun sürer. Böyle bir anketin hazırlanıp uygulanması aylar alır — istatistiğin sonucunu bir hafta içinde istiyorsan, bu süre çok uzundur.
- Herkes yanıt vermek istemeyecektir. Bazı insanlar ilkesel olarak senin sorularına cevap vermek istemez. Ana kütlemiz makineler olsaydı, onlar da bozulabilirdi. Arabaların yaptığı kilometreyi izleseydin, kilometre sayacı bozulabilir ya da biri onu kasıtlı olarak geri sarabilirdi.
- Deney çok tehlikeli olabilir. Matematik ders saatleri anketinden kimsenin kalp krizi geçireceğini sanmıyoruz, ama başka bir örnek alabiliriz — “her derde deva” adlı yeni bir ilacın denenmesi. Bu ilacı Türkiye’nin tüm nüfusu üzerinde denesek ve deneme sırasında test edilen kişilerin %20’sinin hemen korkunç bir ishale yakalandığı ortaya çıksa ne olurdu? Herhalde ilacı önce daha küçük bir grup üzerinde denemek daha iyi olur, değil mi?
Bu dezavantajlardan kaçınmak için verilen ana kütleden yalnızca bir seçim (ya da diğer adıyla örneklem) alırız. P ana kütlemiz varsa, örneklem V, P’nin herhangi bir alt kümesidir, yani V ⊂ P. Deneyimizi bundan sonra yalnızca bu V örnekleminde yaparız ve sonuçları tüm ana kütleye genelleriz. Bu sonuçlar elbette tam doğru olmayacaktır — ne kadar hatalı olacakları, esas olarak V örnekleminin ne kadar büyük olduğuna ve V’ye öğeleri seçmek için hangi yöntemi kullandığımıza bağlıdır.
Tipik hatalar şunlar olabilir:
- V’de çok az öğe olması. Matematik ders saatlerini karşılaştığın ilk yedi kişiye sorarsan, anlamlı sonuçlar elde edemezsin.
- Ana kütleden öğelerin temsil edici olmayan biçimde seçilmesi. Matematik ders saatlerini bin tane matematik bölümü mezununa sorarsan, bin tane 11. sınıf öğrencisine sorduğundan farklı yanıtlar alırsın.
Değişkenler
Deney sırasında örneklemin öğelerini inceleriz. İzlediğimiz bilgilere değişken, bir değişkenin alabildiği seçeneklere ise o değişkenin değerleri deriz. Temel değişken türleri şunlardır:
- Nitel değişken: bu değişkeni genellikle ölçmenin anlamı yoktur, sözel bir nitelendirmedir. Tipik örnek, en sevilen renk sorusudur. Böyle bir değişkenin değerleri örneğin “kırmızı” ve “mavi” olur. Burada kırmızıyı ve maviyi ölçmenin ya da karşılaştırmanın anlamı yoktur. Kırmızıyı ve maviyi seçenlerin sayılarını karşılaştırabiliriz, ama rengin kendisini karşılaştıramayız.
Matematik ders saatleri sorusu da bu kategoriye girer; burada “evet, matematik ders saatlerinin artırılmasını istiyorum” veya “hayır, istemiyorum” yanıtları beklenir ve bunlar bu değişkenin değerleridir. Yine yanıtların sayılarını karşılaştırabiliriz, ama “evet” ile “hayır”ın kendisini karşılaştırmanın anlamı yoktur.
- Nicel değişken: bu değişkeni ölçeriz. Yani uzunluklar, kütleler, süreler, adetler gibi şeylerdir. Nicel değişkenleri ayrıca kesikli ve sürekli değişkenler olarak ikiye ayırırız:
Kesikli değişken
Kesikli değişken, sonlu sayıda değer ya da sayılabilir sonsuzlukta değer içerir (bkz. aşağıda). Değerleri oldukça sık tam sayılardır. Örneğin bir sınıftaki öğrenci sayısı — sıradan bir sınıfta, diyelim, on beş ile kırk arasında çocuk vardır.
Kesikli değişkenin özelliği, bir sonraki ve bir önceki değerin ne olduğunu her zaman söyleyebilmemizdir. 8-B sınıfında 28 çocuk varsa, önceki değer 27, sonraki 29 çocuktur. Nitel değişkende bunu çoğunlukla yapamayız — kırmızıdan sonraki değer hangisidir?
Kesikli değişken sonsuz da olabilir, ama sayılabilir olmalıdır — yani yine önceki ve sonraki değeri belirleyebilmeliyiz. Örneğin “iki nesne arasındaki uzaklık, bir kilometre duyarlılıkla” gibi bir değişken tanımlayabiliriz. Örneğin bir araba ile bir ahır gibi iki nesne arasındaki uzaklığı 12 kilometre olarak ölçersek, yine sonraki ve önceki değerler sırasıyla 13 ve 11 kilometredir. Üstelik uzaklığın bir sınırı olmayabilir. Aralarındaki uzaklık 1.500.000 kilometre olan iki nesne varsa, aralarındaki uzaklık 1.500.001 kilometre olan nesneler de elbette bulunur.
Duyarlılığı kilometrenin onda birine (yani yüzer metreye) değiştirsek de değişken kesikli kalırdı. O zaman 15,7 km uzaklık ölçebilirdik ve sonraki ile önceki değerler 15,8 ve 15,6 olurdu.
Önceki ya da sonraki değer yoksa, bu değişkenin kesikli olmasıyla çelişmez. Örneğin sıfır kilometre uzaklık için önceki değer yoktur — eksi bir kilometre uzaklığı tanımlamayız. Yine de bir kilometre duyarlılıkla uzaklık kesikli bir değişkendir.
Sürekli değişken
Sürekli değişken her zaman sonsuz sayıda değer içerir. Değerler tipik olarak gerçek sayılar olduğundan, örneğin uzaklık (duyarlılık belirtilmeden) böyledir. Sürekli değişkenlerde önceki ya da sonraki değeri belirleyemeyiz. Bir şeyin uzaklığını 3,58745 metre olarak ölçtüysek, bu sayıdan hemen sonra gelen sayıyı bulamayız.
Gerçek sayılar kümesinde sonsuz ondalık açılımlı irrasyonel sayılar da vardır. Elbette bizim böyle bir duyarlılıkla uzaklık ölçebilecek aletlerimiz yoktur; bu yüzden gerçekte böyle her değişken yine de kesiklidir — tam da her aletin belli bir duyarlılığı olduğu için. Bir şeyi cetvelle ölçüyorsan, bir milimetre duyarlılığın vardır. Böylece kitabın genişliğinin 167 mm ya da 168 mm olduğunu ölçebilirsin, ama arasında hiçbir şeyi ölçemezsin; tabii gözle kestirmezsen.
Daha bilimsel bir aletin varsa, bir mikrometre duyarlılığın olabilir. Ama bir nesneyi tam olarak ölçmek için bu da büyük olasılıkla yetmeyecektir.
Bütün bunlara rağmen uzaklıktan ya da kütleden genellikle sürekli değişkenler olarak söz ederiz. Pratikte benzer bir basitleştirme gereklidir ve genellikle hiçbir zararı olmaz.
Rastgele değişken
Rastgele değişken, deneyi yapmadan önce sonuç değerini belirleyemediğimiz kesikli ya da sürekli bir değişkendir. Rastgele değişken, örneğin altı yüzlü bir zarın atılmasının sonucu olabilir. Zarı atmadıkça zarda hangi sayının geleceğini bilemeyiz.
Bazı değerlerin diğerlerinden daha olası olduğunu öngörebiliriz, bu bizi rahatsız etmez; yalnızca belirli bir değeri elde edeceğimizden tam olarak emin olmamalıyız. Örneğin Türkiye’de yaşayanlar arasından rastgele bir kişi seçip hangi şehirde yaşadığını sorsaydık, İstanbul’da yaşıyor olması, Bayburt’ta yaşıyor olmasından daha olasıdır. Kısacası İstanbul’da daha çok insan yaşıyor.
Beş yüzünde altı nokta, kalan altıncı yüzünde iki nokta olan bir zarımız olsaydı, zar atıldığında altı nokta gelmesi çok daha olasıdır. Yine de bu bir rastgele değişkendir, çünkü altı nokta geleceği kesin değildir.
Bu zarı altı yüzünde de altı nokta olacak şekilde değiştirseydik, zar atışının sonucu rastgele değişken olmazdı, çünkü hep altı nokta gelirdi.
