Grunnleggende begreper i statistikk
Statistikk er vitenskapen som undersøker, bearbeider og vurderer data.
Populasjon
Målet med statistikk er å gjennomføre en undersøkelse som skal fortelle oss noe interessant om en bestemt populasjon. Med en populasjon mener vi generelt en hvilken som helst samling av elementer som vi vil undersøke. Hvis vi vil finne ut hva gjennomsnittsalderen til innbyggerne i Norge er, består populasjonen vår av alle innbyggerne i Norge.
Men hvis vi vil finne ut hvor mye bensin personbiler bruker per hundre kilometer, er populasjonen mengden av alle personbiler (i et bestemt område).
Utvalg
Ofte er det ikke mulig å arbeide med alle elementene i populasjonen. Tenk deg at vi vil finne ut hva folk i Norge mener om obligatorisk eksamen i matematikk. For å finne ut hva folk virkelig mener, måtte vi gå fra hus til hus, fra bygd til bygd og spørre hver eneste innbygger hva hun eller han mener om obligatorisk eksamen i matematikk. Noe slikt er ikke mulig i praksis. Noen av grunnene er:
- Det er for dyrt. Å spørre alle de rundt 5,6 millioner innbyggerne er ikke billig. Et landsomfattende valg koster for eksempel fort flere hundre millioner kroner.
- Det tar for lang tid. Et valg forberedes i flere måneder, og hvis du trenger resultatet av en statistikk i løpet av en uke, er det altfor lang tid.
- Ikke alle vil svare. Noen vil rett og slett ikke svare på spørsmålene dine. Hvis populasjonen vår består av maskiner, kan de på sin side gå i stykker. Hvis du følger med på hvor mange kilometer bilene har kjørt, kan kilometertelleren gå i stykker, eller noen kan med vilje skru den tilbake.
- Undersøkelsen kan være for farlig. Spørsmålet om eksamen gir neppe noen hjerteinfarkt, men vi kan ta et annet eksempel: testing av et nytt legemiddel, «Allfrisk». Hva ville skje hvis vi testet Allfrisk på hele Norges befolkning, og det underveis viste seg at 20 % av de testede umiddelbart får ekstremt alvorlig diaré? Da er det nok bedre å teste legemidlet på en mindre gruppe mennesker først, ikke sant?
For å unngå disse ulempene velger vi bare et utvalg fra populasjonen. Hvis vi har populasjonen P, er utvalget V en hvilken som helst delmengde av P, altså V ⊆ P. Deretter gjennomfører vi undersøkelsen bare på dette utvalget V og generaliserer resultatene til hele populasjonen. Resultatene blir selvfølgelig unøyaktige. Hvor unøyaktige de blir, avhenger først og fremst av hvor stort utvalget V er, og av hvilken metode vi har brukt for å velge elementene til V.
Typiske feil kan derfor være:
- For få elementer i V. Hvis du spør de syv første personene du ser om obligatorisk eksamen i matematikk, kan du ikke få meningsfulle resultater.
- Et utvalg som ikke er representativt for populasjonen. Hvis du spør tusen personer med mastergrad i matematikk eller fysikk om obligatorisk eksamen i matematikk, får du andre svar enn hvis du spør tusen elever på Vg3.
Variabler
Under undersøkelsen studerer vi elementene i utvalget. Opplysningene vi følger med på, kaller vi variabler, og verdiene til variablene kaller vi observasjonsverdier. Det finnes noen grunnleggende typer variabler:
- Kvalitativ variabel: en slik variabel gir som regel ikke mening å måle, det dreier seg om en slags beskrivelse med ord. Et typisk eksempel er spørsmålet om nasjonalitet. Observasjonsverdiene til en slik variabel kan for eksempel være «norsk nasjonalitet», «svensk nasjonalitet» og så videre. Det gir ikke mening å måle eller sammenligne norsk og svensk nasjonalitet. Vi kan sammenligne antall nordmenn og svensker, men selve nasjonaliteten kan vi ikke sammenligne.
Spørsmålet om obligatorisk eksamen hører også til denne kategorien. Der venter vi svarene «ja, jeg vil ha obligatorisk eksamen i matematikk» eller «nei, jeg vil ikke ha obligatorisk eksamen i matematikk», og dette er observasjonsverdiene til variabelen. Vi kan igjen sammenligne antall svar, men det gir ikke mening å sammenligne selve «ja» og «nei».
- Kvantitativ variabel: en slik variabel kan vi måle. Det dreier seg altså om lengder, masser, tider, antall og lignende. Kvantitative variabler deler vi videre inn i diskrete og kontinuerlige variabler:
Diskret variabel
En diskret variabel har et endelig antall observasjonsverdier eller et tellbart antall observasjonsverdier (se nedenfor). Ganske ofte dreier det seg om hele tall. Et eksempel er antall elever i en klasse. I en vanlig klasse er det la oss si mellom femten og førti barn.
En diskret variabel kjennetegnes ved at vi alltid kan si hva den neste og den forrige verdien er. Hvis det er 28 barn i klasse 3B, er den forrige verdien 27 barn og den neste 29 barn. For en kvalitativ variabel kan vi som regel ikke gjøre det. Hva er for eksempel den neste verdien etter norsk nasjonalitet?
En diskret variabel kan også være uendelig, men den må være tellbar. Det betyr at vi fortsatt må kunne finne både forrige og neste verdi. Vi kunne for eksempel innføre variabelen «avstanden mellom to objekter med en nøyaktighet på én kilometer». Hvis vi måler at avstanden mellom to objekter, for eksempel en bil og en låve, er 12 kilometer, gjelder det igjen at den neste og den forrige verdien er henholdsvis 13 og 11 kilometer. Samtidig er avstanden trolig ikke begrenset oppover. Hvis to objekter ligger 1 500 000 kilometer fra hverandre, finner vi sikkert også objekter som ligger 1 500 001 kilometer fra hverandre.
Variabelen ville fortsatt vært diskret om vi endret nøyaktigheten til tideler av en kilometer (altså hundre meter). Da kunne vi måle en avstand på 15,7 km, og den neste og den forrige verdien ville være 15,8 og 15,6.
At den forrige eller den neste verdien ikke finnes, strider ikke mot at variabelen er diskret. For avstanden null kilometer finnes for eksempel ingen forrige verdi, for vi definerer ikke en avstand på minus én kilometer. Likevel er avstanden med en nøyaktighet på én kilometer en diskret variabel.
Kontinuerlig variabel
En kontinuerlig variabel har alltid uendelig mange mulige verdier. Verdiene er typisk reelle tall, og det kan for eksempel dreie seg om en avstand (uten tillegg om nøyaktighet). For kontinuerlige variabler kan vi verken bestemme forrige eller neste verdi. Hvis vi måler at avstanden til noe er 3,58745 meter, finner vi ikke tallet som kommer rett etter dette tallet.
Blant de reelle tallene finnes også irrasjonale tall med uendelig mange desimaler. Vi har selvfølgelig ingen instrumenter som kan måle en avstand med så stor nøyaktighet, så i virkeligheten er enhver slik variabel likevel diskret, nettopp fordi hvert instrument har en viss nøyaktighet. Hvis du måler noe med en linjal, har du en nøyaktighet på én millimeter. Du kan måle at en bok er 167 mm eller 168 mm bred, men ingenting imellom, med mindre du anslår det på øyemål eller på en annen måte.
Hvis du har et mer vitenskapelig instrument, kan du ha en nøyaktighet på én mikrometer. Men heller ikke det er sannsynligvis nok til å måle et objekt helt nøyaktig.
Likevel snakker vi vanligvis om avstand eller masse som kontinuerlige variabler. I praksis er en slik forenkling nødvendig, og den gjør som regel ingen skade.
Stokastisk variabel
En stokastisk variabel er en diskret eller kontinuerlig variabel der vi ikke kan bestemme den endelige verdien før vi har gjennomført forsøket. En stokastisk variabel kan derfor være resultatet av et kast med en sekssidet terning. Så lenge vi ikke har kastet terningen, kan vi ikke vite hvilket tall som kommer opp.
Vi kan godt klare å forutsi at noen verdier er mer sannsynlige enn andre. Det gjør ingenting, vi må bare ikke være helt sikre på at vi får en bestemt verdi. Hvis vi for eksempel trekker tilfeldig én innbygger i Norge og spør i hvilken by vedkommende bor, er det mer sannsynlig at han eller hun bor i Oslo enn et sted som Fyresdal. I Oslo bor det rett og slett flere mennesker.
Hvis vi hadde en terning som har seks øyne på fem av sidene og to øyne på den siste, sjette siden, er det langt mer sannsynlig at vi får seks øyne når vi kaster. Det er likevel en stokastisk variabel, fordi det ikke er sikkert at vi får seks øyne.
Hvis vi endret denne terningen slik at det var seks øyne på alle seks sidene, ville ikke terningkastet vært en stokastisk variabel, for da ville vi alltid fått seks øyne.
