A statisztika alapfogalmai

A statisztika olyan tudomány, amely adatokat vizsgál, dolgoz fel és értékel ki.

Sokaság

A statisztika célja olyan kísérletet végezni, amellyel valami érdekeset tudhatunk meg egy adott sokaságról. Sokaságnak általában bármilyen elemekből álló halmazt nevezünk, amelyet éppen vizsgálni szeretnénk. Ha azt akarjuk megtudni, mennyi Magyarország lakosainak átlagos életkora, akkor a sokaságunk Magyarország összes lakosa lesz.

Ha viszont a személyautók átlagos benzinfogyasztására vagyunk kíváncsiak száz kilométeren, akkor a sokaságunk az (adott területen lévő) összes személyautó halmaza.

Mintavétel, minta

Gyakran nem lehetséges a sokaság összes elemével dolgozni. Képzeljük el, hogy azt szeretnénk megtudni, mit gondolnak az emberek a kötelező matematikaérettségiről. Hogy tényleg kiderüljön, mit gondolnak róla, házról házra, hídról hídra kellene járnunk, és minden állampolgártól megkérdeznünk a véleményét. Ez a gyakorlatban nem megvalósítható. Néhány ok:

• Túl drága. Körülbelül tízmillió ember megkérdezése nem olcsó mulatság. Például az első közvetlen csehországi elnökválasztás 625 millió koronába (nagyjából 9,4 milliárd forintba) került.
• Túl sokáig tart. Azt a választást biztosan hónapokig készítették elő – ha a statisztika eredményére egy hét múlva van szükséged, ez túl hosszú idő.
• Nem mindenki akar válaszolni. Valaki már eleve nem akar válaszolni a kérdéseidre. Ha a sokaságunk gépekből áll, azok meg elromolhatnak. Ha az autók megtett kilométereit figyelnéd, előfordulhat, hogy a kilométeróra elromlik, vagy valaki szándékosan visszatekeri.
• A kísérlet túl veszélyes lehet. A kötelező érettségiről szóló kérdéstől valószínűleg senki sem kap szívrohamot, de vehetünk másik példát – egy új gyógyszer, a „mindengyógyír” tesztelését. Mi történne, ha a mindengyógyírt Magyarország teljes lakosságán tesztelnénk, és a teszt közben kiderülne, hogy a tesztelt emberek 20%-ának azonnal rettenetes hasmenése lesz? Nos, valószínűleg jobb, ha a gyógyszert először egy kisebb csoporton próbáljuk ki, nem igaz?

Hogy elkerüljük ezeket a hátrányokat, a sokaságból csak egy részt választunk ki (ezt hívjuk mintának). Ha a sokaságot P-vel jelöljük, akkor a V minta a P tetszőleges részhalmaza, tehát V ⊆ P. A kísérletet ezután csak ezen a V mintán végezzük el, az eredményeket pedig általánosítjuk az egész sokaságra. Ezek az eredmények természetesen pontatlanok lesznek – hogy mennyire, az elsősorban attól függ, mekkora a V minta, és milyen módszerrel választottuk ki a V elemeit.

Tipikus hibák például:

• Túl kevés elem a V mintában. Ha a kötelező érettségiről az első hét embert kérdezed meg, akit meglátsz, nem kaphatsz értelmes eredményt.
• A sokaság nem reprezentatív mintája. Ha a kötelező matematikaérettségiről az ELTE Természettudományi Karának ezer végzősét kérdezed meg, más válaszokat kapsz, mintha ezer harmadikos középiskolást kérdeznél.

Változók

A kísérlet során a minta elemeit vizsgáljuk. Azokat az adatokat, amelyeket megfigyelünk, változóknak nevezzük, a változók értékeit pedig változatoknak. A változóknak alapvetően ezek a típusai vannak:

• Minőségi (kvalitatív) változó: ezt a változót jellemzően nincs értelme mérni, valamilyen szöveges értékelésről van szó. Tipikus példa a kedvenc gyümölcsre vonatkozó kérdés. Az ilyen változó változatai például az „alma” vagy a „körte”. Az almát és a körtét közben nincs értelme mérni vagy összehasonlítani. Összehasonlíthatjuk az almát és a körtét kedvelők számát, de magát az almát és a körtét nem.

Ide tartozik a kötelező érettségiről szóló kérdés is, ahol „igen, szeretnék kötelező matematikaérettségit” vagy „nem, nem szeretnék kötelező matematikaérettségit” válaszokat várunk, és ezek a változó változatai. A válaszok számát megint összehasonlíthatjuk, de magát az „igen”-t és a „nem”-et nincs értelme összehasonlítani.

• Mennyiségi (kvantitatív) változó: ezt a változót megmérjük. Ilyenek a hosszúságok, tömegek, idők, darabszámok és hasonlók. A mennyiségi változókat tovább osztjuk diszkrét és folytonos változókra:

Diszkrét változó

A diszkrét változónak véges sok változata van, vagy megszámlálhatóan sok (lásd alább). Elég gyakran egész számokról van szó. Például az osztály létszáma – egy átlagos osztályban mondjuk tizenöt és negyven gyerek között lesz.

A diszkrét változó jellemzője, hogy mindig meg tudjuk mondani, melyik az előző és melyik a következő változat. Ha a 3.b osztályba 28 gyerek jár, akkor az előző változat 27 gyerek, a következő pedig 29 gyerek. A minőségi változónál ezt legtöbbször nem tudjuk megtenni – melyik a következő változat az alma után?

A diszkrét változó végtelen is lehet, de megszámlálhatónak kell lennie – vagyis még mindig meg kell tudnunk határozni az előző és a következő változatot. Bevezethetnénk például a „két objektum távolsága egy kilométeres pontossággal” változót. Ha azt mérjük, hogy két objektum, például egy autó és egy pajta távolsága 12 kilométer, akkor megint igaz, hogy a következő és az előző változat 13, illetve 11 kilométer. Közben a távolság valószínűleg semmilyen módon nincs korlátozva. Ha van két objektum, amelyek 1 500 000 kilométerre vannak egymástól, biztosan találunk olyanokat is, amelyek 1 500 001 kilométerre vannak egymástól.

A változó diszkrét maradna akkor is, ha a pontosságot kilométer tizedére (vagyis száz méterre) változtatnánk. Akkor mérhetnénk 15,7 km távolságot, a következő és az előző érték pedig 15,8 és 15,6 lenne.

Ha az előző vagy a következő változat nem létezik, az nem mond ellent annak, hogy a változó diszkrét. Például a nulla kilométeres távolságnak nincs előző változata – a mínusz egy kilométeres távolságot nem értelmezzük. Az egy kilométeres pontosságú távolság ettől még diszkrét változó.

Folytonos változó

A folytonos változónak mindig végtelen sok változata van. Az értékei jellemzően valós számok, tehát például a távolság (a pontosságra vonatkozó kiegészítés nélkül). A folytonos változóknál nem tudjuk meghatározni az előző és a következő változatot. Ha azt mérjük, hogy valami távolsága 3,58745 méter, nem tudunk olyan számot találni, amely pontosan ezután a szám után következik.

A valós számok között irracionális számok is vannak, végtelen tizedes tört alakkal. Nekünk természetesen nincsenek olyan műszereink, amelyek ilyen pontossággal tudnának távolságot mérni, ezért a valóságban minden ilyen változó ugyanúgy diszkrét – éppen azért, mert minden műszernek van valamilyen pontossága. Ha vonalzóval mérsz, annak a pontossága egy milliméter. Megmérheted, hogy a könyv 167 mm vagy 168 mm széles, de a kettő közötti értéket nem; persze, ha nem becsülöd meg valahogy stb.

Ha van valamilyen tudományosabb műszered, lehet, hogy a pontossága egy mikrométer. Egy tárgy teljesen pontos lemérésére azonban még ez sem lesz valószínűleg elég.

Mindezek ellenére a távolságról vagy a tömegről általában folytonos változóként beszélünk. A gyakorlatban hasonló egyszerűsítés szükséges, és általában nem okoz gondot.

Véletlen változó

A véletlen változó olyan diszkrét vagy folytonos változó, amelynek a kísérlet elvégzése előtt nem tudjuk meghatározni a végső értékét. Véletlen változó lehet például a hatoldalú kockával dobott szám. Amíg nem dobunk a kockával, nem tudhatjuk, melyik szám jön ki.

Lehet, hogy meg tudjuk jósolni, hogy egyes értékek valószínűbbek a többinél, az nem baj, csak nem lehetünk teljesen biztosak abban, hogy valamilyen konkrét értéket kapunk. Ha például véletlenszerűen kisorsolnánk egy magyar lakost, és megkérdeznénk tőle, melyik városban él, valószínűbb, hogy Budapesten él, mint valamelyik kis faluban, például Tiszaderzsen. Budapesten egyszerűen többen élnek.

Ha lenne egy kockánk, amelynek öt oldalán hat pötty van, a megmaradt hatodik oldalán pedig kettő, sokkal valószínűbb, hogy a dobásnál hat pötty jön ki. Ez mégis véletlen változó, mert nem biztos, hogy hat pötty lesz.

Ha ezt a kockát úgy módosítanánk, hogy mind a hat oldalán hat pötty legyen, a kockadobás nem lenne véletlen változó, mert mindig hatot dobnánk.

Hivatkozások és források

• An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1 (goodreads)