Notions de base en statistiques
La statistique est la science qui étudie, traite et évalue des données.
Population
Le but de la statistique est de mener une expérience pour découvrir quelque chose d’intéressant sur une population donnée. Une population, c’est en général n’importe quel ensemble d’éléments que l’on veut étudier. Si on veut savoir quel est l’âge moyen des habitants de la France, notre population sera formée de tous les habitants de la France.
Mais si on veut connaître la consommation moyenne d’essence des voitures particulières aux 100 kilomètres, notre population sera l’ensemble de toutes les voitures particulières (sur le territoire considéré).
Échantillon
Il est souvent impossible de travailler avec tous les éléments de la population. Imaginons que l’on veuille savoir ce que les Français pensent d’une épreuve de mathématiques obligatoire au baccalauréat pour tous les élèves. Pour le savoir vraiment, il faudrait aller de maison en maison et de village en village, et demander à chaque habitant ce qu’il en pense. Ce n’est pas possible en pratique. Voici quelques raisons :
- C’est trop cher. Interroger environ 68 millions d’habitants coûte une fortune : même à un seul euro par personne, cela ferait déjà plus de 68 millions d’euros.
- C’est trop long. Organiser un tel sondage prendrait sans doute plusieurs mois – si tu as besoin du résultat d’une étude en une semaine, c’est beaucoup trop long.
- Tout le monde ne voudra pas répondre. Certaines personnes ne voudront pas répondre à tes questions, par principe. Si notre population est faite de machines, elles peuvent tomber en panne. Si tu relèves le nombre de kilomètres parcourus par des voitures, il peut arriver que le compteur kilométrique casse ou que quelqu’un le trafique volontairement.
- L’expérience peut être trop dangereuse. Personne ne fera sans doute de crise cardiaque à cause d’une question sur le bac, mais prenons un autre exemple : le test d’un nouveau médicament, le « toutguérit ». Que se passerait-il si on testait le toutguérit sur toute la population de la France et qu’on découvrait que 20 % des personnes testées attrapent aussitôt une diarrhée épouvantable ? Il vaut sans doute mieux tester d’abord le médicament sur un groupe plus petit, non ?
Pour éviter ces inconvénients, on choisit dans la population seulement une partie, appelée échantillon. Si on a une population P, un échantillon V est n’importe quel sous-ensemble de P, c’est-à-dire V ⊂ P. On mène ensuite l’expérience uniquement sur cet échantillon V et on généralise les résultats à toute la population. Ces résultats seront bien sûr imprécis – leur degré d’imprécision dépend surtout de la taille de l’échantillon V et de la méthode choisie pour sélectionner les éléments de V.
Voici des erreurs typiques :
- Un nombre d’éléments trop faible dans V. Si tu poses ta question sur le bac aux sept premières personnes que tu croises, tu ne peux pas obtenir de résultats significatifs.
- Un échantillon non représentatif de la population. Si tu poses ta question sur le bac de mathématiques à un millier de diplômés d’une faculté de mathématiques et de physique, tu obtiendras d’autres réponses que si tu interroges un millier d’élèves de terminale.
Variables
Pendant l’expérience, on étudie les éléments de l’échantillon. Les données que l’on observe s’appellent des variables statistiques et les valeurs des variables s’appellent des modalités. Il existe plusieurs types fondamentaux de variables :
- Variable qualitative : en général, cela n’a pas de sens de mesurer cette variable, il s’agit d’une description en mots. Un exemple typique est la question de la nationalité. Les modalités d’une telle variable seront par exemple « nationalité française », « nationalité italienne », etc. Cela n’a pas de sens de mesurer ou de comparer la nationalité française et la nationalité italienne. On peut comparer le nombre de Français et d’Italiens, mais on ne peut pas comparer les nationalités elles-mêmes.
La question sur le bac entre aussi dans cette catégorie : on attend des réponses du type « oui, je veux une épreuve de mathématiques obligatoire au bac » ou « non, je n’en veux pas », qui sont les modalités de cette variable. Là encore, on peut comparer le nombre de réponses, mais cela n’a pas de sens de comparer « oui » et « non » eux-mêmes.
- Variable quantitative : cette variable, on la mesure. Il s’agit donc de longueurs, de masses, de durées, d’effectifs et ainsi de suite. On distingue en outre les variables quantitatives discrètes et continues :
Variable discrète
Une variable discrète possède un nombre fini de modalités ou un nombre dénombrable de modalités (voir plus loin). Très souvent, ce sont des nombres entiers. Par exemple, le nombre d’élèves dans une classe – dans une classe ordinaire, il y aura disons entre quinze et quarante enfants.
Une variable discrète se caractérise par le fait que l’on peut toujours dire quelles sont la modalité suivante et la modalité précédente. S’il y a 28 enfants dans la classe de 5ᵉ B, la modalité précédente est 27 enfants et la suivante 29 enfants. Pour une variable qualitative, on n’en est généralement pas capable : quelle est la modalité qui suit la nationalité française ?
Une variable discrète peut aussi être infinie, mais elle doit être dénombrable – cela signifie qu’on doit toujours pouvoir déterminer la modalité précédente et la suivante. On pourrait par exemple introduire la variable « distance entre deux objets, au kilomètre près ». Si l’on mesure que la distance entre deux objets, par exemple une voiture et une grange, est de 12 kilomètres, alors la modalité suivante est 13 kilomètres et la précédente 11 kilomètres. La distance n’est sans doute pas bornée. Si deux objets sont distants de 1 500 000 kilomètres, on trouvera sûrement aussi des objets distants de 1 500 001 kilomètres.
La variable resterait discrète même si l’on changeait la précision pour des dixièmes de kilomètre (c’est-à-dire des centaines de mètres). On pourrait alors mesurer une distance de 15,7 km, et les valeurs suivante et précédente seraient 15,8 et 15,6.
Si la modalité précédente ou suivante n’existe pas, cela ne contredit pas le fait que la variable soit discrète. Par exemple, pour une distance de zéro kilomètre, il n’y a pas de modalité précédente – on ne définit pas de distance de moins un kilomètre. Pourtant, la distance au kilomètre près est bien une variable discrète.
Variable continue
Une variable continue possède toujours un nombre infini de modalités. Ses valeurs sont en général des nombres réels, il s’agit donc par exemple d’une distance (sans indication de précision). Pour une variable continue, on ne peut déterminer ni la modalité précédente ni la suivante. Si tu mesures une distance de 3,58745 mètres, tu ne peux pas trouver le nombre qui vient juste après.
L’ensemble des nombres réels contient aussi des nombres irrationnels, dont le développement décimal est infini. Bien sûr, nous n’avons pas d’appareils capables de mesurer une distance avec une telle précision, donc dans la réalité, toute variable de ce genre est en fait discrète – justement parce que chaque appareil a une certaine précision. Si tu mesures quelque chose avec une règle, tu as une précision d’un millimètre. Tu peux ainsi mesurer qu’un livre a une largeur de 167 mm ou de 168 mm, mais rien entre les deux ; sauf, bien sûr, si tu estimes la valeur à l’œil, etc.
Si tu disposes d’un appareil plus scientifique, tu peux avoir une précision d’un micromètre. Mais cela ne suffira sans doute pas non plus pour mesurer un objet de façon parfaitement exacte.
Malgré tout, on parle couramment de la distance ou de la masse comme de variables continues. En pratique, une telle simplification est nécessaire et ne gêne généralement pas.
Variable aléatoire
Une variable aléatoire est une variable discrète ou continue dont on ne peut pas déterminer la valeur avant d’avoir réalisé l’expérience. Le résultat d’un lancer de dé à six faces peut donc être une variable aléatoire. Tant qu’on n’a pas lancé le dé, on ne peut pas savoir quel nombre va sortir.
On peut être capable de prévoir que certaines valeurs sont plus probables que d’autres, cela ne pose pas de problème, il faut seulement qu’on ne puisse pas être tout à fait sûr d’obtenir une valeur précise. Par exemple, si l’on tirait au sort un habitant de la France et qu’on lui demandait dans quelle ville il habite, il est plus probable qu’il habite à Paris que dans un petit village du Cantal. Il y a tout simplement plus de monde à Paris.
Si l’on avait un dé qui a six points sur cinq faces et deux points sur la sixième face, il serait bien plus probable d’obtenir six points au lancer. Mais cela reste une variable aléatoire, car il n’est pas certain que six points sortent.
Si l’on modifiait ce dé pour qu’il ait six points sur chacune de ses six faces, le lancer ne serait plus une variable aléatoire, car on obtiendrait toujours six points.
